二分圖匹配的擴展問題

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    前面提到了匈牙利算法解決二分圖匹配問題，但是基於二分圖還有幾個經常
    見的擴展問題如下：
        1、最大獨立集點數
        2、最小頂點覆蓋數
        3、最小路徑覆蓋數
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    最大獨立集點數：

        有5個同學，小明，小強，小壯，小雨，小麗，現在要做遊戲，可是小雨
    小麗都不喜歡小明，問最多能挑出多少學生使他們在一起玩？？？

    顯然答案爲4，直接把小明趕走即可，因爲如果小明在，小雨和小麗兩個女女
    就不幹了。。

    *最大獨立集點數 = N - 最大匹配數

    如下建圖

       小雨 * * *小明
              *
       小麗 *    小強

                 小壯
    最大匹配爲 1，有 5 個點，所以最大獨立集點數爲 5 - 1 = 4；
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    最小頂點覆蓋數：
        即在二分圖中用最少的點關聯所有的邊，如上圖：最小頂點覆蓋數爲 1
    即小明一個人就關聯了僅存的兩條邊。。

    最小頂點覆蓋數 = 最大匹配數

    Konig定理：二分圖的最小頂點覆蓋數等於最大匹配數。
    網上有關於這個定理的證明。。。

    後面還會遇到樹的最小支配集，即最少的點關聯所有的點或邊。。。
    樹的最小支配集用貪心和樹形DP 解決，後面會提到
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    最小路徑覆蓋
        路徑覆蓋就是在*無環有向圖*中找一些路徑，使之覆蓋了圖中所有頂點，且
    任何一個頂點有且只有一條路徑與之關聯。

    最小路徑覆蓋 = N - 最大匹配數

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        二分圖匹配和網絡流一樣，都在於建圖，應該說幾乎所有的圖論題都在於建圖
    建圖的技巧和難度，決定了這道題的質量和難度，所以會套模板是基礎，建圖纔是
    王道……

    注意：上面3個只適用於有向無環圖，當爲無向圖時可以通過拆點轉換爲無向圖，但
    算出的最大匹配得除二。。 但不能有環

    拆點：N個點 則把 X 點拆成 2N+X 則 2N+X 完全等價X 去添邊，即無向邊ab，
    可拆成 a->2N+b b->2N+a。。用匈牙利算法算出最大匹配除二即爲匹配

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收藏於 2011-11-23
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