【排序算法】歸併排序(C++實現)

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歸併排序是利用"歸併"技術來進行排序。歸併是指將若干個已排序的子文件合併成一個有序的文件。常見的歸併排序有兩路歸併排序（Merge Sort），多相歸併排序（Polyphase Merge Sort），Strand排序（Strand Sort）。下面介紹第一種：

（一）兩路歸併排序

最差時間複雜度：O(nlogn)
平均時間複雜度：O(nlogn)
最差空間複雜度：O(n)
穩定性：穩定

兩路歸併排序（Merge Sort），也就是我們常說的歸併排序，也叫合併排序。它是建立在歸併操作上的一種有效的排序算法，歸併操作即將兩個已經排序的序列合併成一個序列的操作。該算法是採用分治法（Divide and Conquer）的一個非常典型的應用。
歸併操作的基本步驟如下：
1.申請兩個與已經排序序列相同大小的空間，並將兩個序列拷貝其中；
2.設定最初位置分別爲兩個已經拷貝排序序列的起始位置，比較兩個序列元素的大小，依次選擇相對小的元素放到原始序列；
3.重複2直到某一拷貝序列全部放入原始序列，將另一個序列剩下的所有元素直接複製到原始序列尾。

設歸併排序的當前區間是R[low..high]，分治法的三個步驟是：
1.分解：將當前區間一分爲二，即求分裂點
2.求解：遞歸地對兩個子區間R[low..mid]和R[mid+1..high]進行歸併排序；
3.組合：將已排序的兩個子區間R[low..mid]和R[mid+1..high]歸併爲一個有序的區間R[low..high]。
遞歸的終結條件：子區間長度爲1（一個記錄自然有序）。

算法示意圖：

代碼實現：

void Merge(int *a, int p, int q, int r)
{
    int n1 = q-p+1;
    int n2 = r-q;
    int *L = new int[n1+1];
    int *R = new int[n2+1];
    int i, j, k;

    for (i=0; i<n1; i++){
        L[i] = a[p+i];
    }
    for (j=0; j<n2; j++){
        R[j] = a[q+j+1];
    }
    L[n1] = 10000000;
    R[n2] = 10000000;

    for (i=0, j=0, k=p; k<=r; k++)
    {
        if (L[i]<=R[j])
        {
            a[k] = L[i];
            i++;
        }else{
            a[k] = R[j];
            j++;
        }
    }

    delete []L;
    delete []R;
}

void MergeSort1(int *a, int p, int r)
{
    if (p<r)
    {
        int q = (p+r)/2;
        MergeSort1(a, p, q);
        MergeSort1(a, q+1, r);
        Merge(a, p, q, r);
    }
}

雖然插入排序的時間複雜度爲O(n^2)，歸併排序的時間複雜度爲O(nlogn)，但插入排序中的常數因子使得它在n較小時，運行得要更快一些。因此，在歸併排序算法中，當子問題足夠小時，採用插入排序算法就比較合適了。

代碼實現：

void MergeSort2(int *a, int p, int r)
{
    if ((r-p)>=50) // 小於50個數據的數組進行插入排序
    {
        int q = (p+r)/2;
        MergeSort2(a, p, q);
        MergeSort2(a, q+1, r);
        Merge(a, p, q, r);
    }else
    {
        InsertionSort(a+p, r-p+1);
    }
}

MergeSort1與MergeSort2算法排序時間實驗結果比較：

數據量	1K	10K	100K	1000K	10000K
MergeSort1	0.001s	0.008s	0.065s	0.552s	5.875s
MergeSort2	<0.001s	0.001s	0.021s	0.219s	2.317s