KM算法 詳解+模板

(轉自http://blog.sina.com.cn/s/blog_691ce2b701016reh.html)

【KM算法及其具體過程】

（1）可行點標：每個點有一個標號，記lx[i]爲X方點i的標號，ly[j]爲Y方點j的標號。如果對於圖中的任意邊(i, j, W)都有lx[i]+ly[j]>=W，則這一組點標是可行的。特別地，對於lx[i]+ly[j]=W的邊(i, j, W)，稱爲可行邊；
（2）KM 算法的核心思想就是通過修改某些點的標號（但要滿足點標始終是可行的），不斷增加圖中的可行邊總數，直到圖中存在僅由可行邊組成的完全匹配爲止，此時這個 匹配一定是最佳的（因爲由可行點標的的定義，圖中的任意一個完全匹配，其邊權總和均不大於所有點的標號之和，而僅由可行邊組成的完全匹配的邊權總和等於所 有點的標號之和，故這個匹配是最佳的）。一開始，求出每個點的初始標號：lx[i]=max{e.W|e.x=i}（即每個X方點的初始標號爲與這個X方 點相關聯的權值最大的邊的權值），ly[j]=0（即每個Y方點的初始標號爲0）。這個初始點標顯然是可行的，並且，與任意一個X方點關聯的邊中至少有一條可行邊；
（3）然後，從每個X方點開始DFS增廣。DFS增廣的過程與最大匹配的Hungary算法基本相同，只是要注意兩點：一是隻找可行邊，二是要把搜索過程中遍歷到的X方點全部記下來（可以用vst搞一下），以進行後面的修改；
（4） 增廣的結果有兩種：若成功（找到了增廣軌），則該點增廣完成，進入下一個點的增廣。若失敗（沒有找到增廣軌），則需要改變一些點的標號，使得圖中可行邊的 數量增加。方法爲：將所有在增廣軌中（就是在增廣過程中遍歷到）的X方點的標號全部減去一個常數d，所有在增廣軌中的Y方點的標號全部加上一個常數d，則 對於圖中的任意一條邊(i, j, W)（i爲X方點，j爲Y方點）：
<1>i和j都在增廣軌中：此時邊(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不變，也就是這條邊的可行性不變（原來是可行邊則現在仍是，原來不是則現在仍不是）；
<2>i在增廣軌中而j不在：此時邊(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值減少了d，也就是原來這條邊不是可行邊（否則j就會被遍歷到了），而現在可能是；
<3>j在增廣軌中而i不在：此時邊(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值增加了d，也就是原來這條邊不是可行邊（若這條邊是可行邊，則在遍歷到j時會緊接着執行DFS(i)，此時i就會被遍歷到），現在仍不是；
<4>i和j都不在增廣軌中：此時邊(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不變，也就是這條邊的可行性不變。
這 樣，在進行了這一步修改操作後，圖中原來的可行邊仍可行，而原來不可行的邊現在則可能變爲可行邊。那麼d的值應取多少？顯然，整個點標不能失去可行性，也 就是對於上述的第<2>類邊，其lx[i]+ly[j]>=W這一性質不能被改變，故取所有第<2>類邊的 (lx[i]+ly[j]-W)的最小值作爲d值即可。這樣一方面可以保證點標的可行性，另一方面，經過這一步後，圖中至少會增加一條可行邊。
（5）修改後，繼續對這個X方點DFS增廣，若還失敗則繼續修改，直到成功爲止；

（6）以上就是KM算法的基本思路。但是樸素的實現方法，時間複雜度爲O(n4)——需要找O(n)次增廣路，每次增廣最多需要修改O(n)次頂標，每次修改頂 標時由於要枚舉邊來求d值，複雜度爲O(n2)。實際上KM算法的複雜度是可以做到O(n3)的。我們給每個Y頂點一個“鬆弛量”函數slack，每次開 始找增廣路時初始化爲無窮大。在尋找增廣路的過程中，檢查邊(i,j)時，如果它不在相等子圖中，則讓slack[j]變成原值與 A[i]+B[j]-w[i,j]的較小值。這樣，在修改頂標時，取所有不在交錯樹中的Y頂點的slack值中的最小值作爲d值即可。但還要注意一點：修 改頂標後，要把所有不在交錯樹中的Y頂點的slack值都減去d。

hdoj 2255

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define M 310
#define inf 0x3f3f3f3f

int n,nx,ny;
int link[M],lx[M],ly[M],slack[M];    //lx,ly爲頂標，nx,ny分別爲x點集y點集的個數
int visx[M],visy[M],w[M][M];

int DFS(int x)
{
    visx[x] = 1;
    for (int y = 1;y <= ny;y ++)
    {
        if (visy[y])
            continue;
        int t = lx[x] + ly[y] - w[x][y];
        if (t == 0)       //
        {
            visy[y] = 1;
            if (link[y] == -1||DFS(link[y]))
            {
                link[y] = x;
                return 1;
            }
        }
        else if (slack[y] > t)  //不在相等子圖中slack 取最小的
            slack[y] = t;
    }
    return 0;
}
int KM()
{
    int i,j;
    memset (link,-1,sizeof(link));
    memset (ly,0,sizeof(ly));
    for (i = 1;i <= nx;i ++)            //lx初始化爲與它關聯邊中最大的
        for (j = 1,lx[i] = -inf;j <= ny;j ++)
            if (w[i][j] > lx[i])
                lx[i] = w[i][j];

    for (int x = 1;x <= nx;x ++)
    {
        for (i = 1;i <= ny;i ++)
            slack[i] = inf;
        while (1)
        {
            memset (visx,0,sizeof(visx));
            memset (visy,0,sizeof(visy));
            if (DFS(x))     //若成功（找到了增廣軌），則該點增廣完成，進入下一個點的增廣
                break;  //若失敗（沒有找到增廣軌），則需要改變一些點的標號，使得圖中可行邊的數量增加。
                        //方法爲：將所有在增廣軌中（就是在增廣過程中遍歷到）的X方點的標號全部減去一個常數d，
                        //所有在增廣軌中的Y方點的標號全部加上一個常數d
            int d = inf;
            for (i = 1;i <= ny;i ++)
                if (!visy[i]&&d > slack[i])
                    d = slack[i];
            for (i = 1;i <= nx;i ++)
                if (visx[i])
                    lx[i] -= d;
            for (i = 1;i <= ny;i ++)  //修改頂標後，要把所有不在交錯樹中的Y頂點的slack值都減去d
                if (visy[i])
                    ly[i] += d;
                else
                    slack[i] -= d;
        }
    }
    int res = 0;
    for (i = 1;i <= ny;i ++)
        if (link[i] > -1)
            res += w[link[i]][i];
    return res;
}
int main ()
{
    int i,j;
    while (scanf ("%d",&n)!=EOF)
    {
        nx = ny = n;
      //  memset (w,0,sizeof(w));
        for (i = 1;i <= n;i ++)
            for (j = 1;j <= n;j ++)
                scanf ("%d",&w[i][j]);
        int ans = KM();
        printf ("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}