馬拉車算法 manacher算法

開篇序言：理解的越透徹，講的越簡單。
廢話多，挑着看。

1.算法作用

馬拉車算法（Manacher）能夠算出字符串中以每個位置爲中心的最長子迴文串。如下例：

以acbccbc爲例:

• 以第0個字符爲中心的最長子迴文串爲“a”
• 以第2個字符爲中心的最長子迴文串爲“cac”
• 以第3個字符爲中心的最長子迴文串爲“cbccbc”，這是一個偶數迴文，以“cc”爲中心。所以cc都是中心。

求解最長子迴文串是她的妙用之一。下面講算法內容，由於篇幅有限，寫這個也挺耗時間，所以難免不清楚，請對照代碼一起看。

2.算法過程

2.1預處理

迴文串按照串長度的奇偶性，可以分爲奇數迴文和偶數迴文。如“aba”、“abcba”和“aaa”，都是奇數迴文，而“abba”、“abccba”和“aaaa”屬於偶數迴文。除了串長度的奇偶性外，兩種迴文還有另一個更加明顯區別：對稱中心是一個字符還是兩個字符。很明顯奇數迴文，對稱中心爲一個字符，偶數迴文中心爲兩個字符。如“aba”對稱中心爲“b”，“abba”對稱中心爲“bb”。

由於奇偶迴文的存在，檢查某個字符串是否是迴文，我們需要檢查它是奇數迴文，還是偶數迴文，如果兩者都不是，那麼就不是迴文。也就是說我們需要分情況討論。這種做法，在一般的情況下都沒有，但是我們應該知道，每多一種情況，事情就會更復雜一些，代碼更多，出bug的概率更大。所以，最好消除掉奇偶性。如果有興趣的同學也可以嘗試實現，分奇偶性的馬拉車算法，畢竟不經歷，不知天高地厚。

如何消除分情況討論？在兩兩字符之間插入flag字符。flag字符必須是，原字符串中沒有出現過的字符，比如“#”可以做“aba”和“abba”的flag字符，插入後分別變爲“a#b#a”和“a#b#b#a”，他們都變成了奇數迴文。方法非常巧妙，值得借鑑。

除了消除分情況討論外，還需要在首尾加入begin字符和end字符。這是爲了預防邊界異常，具體請看代碼，不一一解釋。不過也是一個很妙的編程技巧，值得借鑑。

2.2 求最長字符串

經過預處理原字符串S等到字符串T，接下來充分利用迴文的對稱性，求字符串T中，以每個位置爲中心的最長子迴文串。這裏，子迴文串使用中心idx和半徑r表示，其左邊界idx-r，右邊界爲idx+r。如下圖：

設r[i]爲以i爲中心的子迴文串的半徑。

程序從左向右依次檢查每個中心的迴文長度。設i爲當前要檢查的中心。

• 1.如果之前已經找到的某些子迴文中，已經包括了當前i，設其中右邊界最右那個迴文串爲P，其中心爲idx（i>idx），右邊界爲mx（mx>i）。那麼可以利用對稱性推算此子迴文長度。先找到i關於idx對稱的j=idx-（i-idx）。由於j左右對稱，且idx左右對稱，故可知i的左右對稱範圍也是如此，如下圖。
  

但是當j的迴文串剛好到達idx的邊界或者超出時，只能確定idx與j迴文串重合部分範圍內，對於i來說是迴文（也就是下圖i的實線部分），超出部分（也就是i的虛線框部分）需要使用中心擴展檢查確認。

• 2.如果不存在這樣的迴文串P，也就是i>=mx，那麼使用中心擴展搜索。如下圖：
  

代碼實現

上面的難以講清楚，所以最好結合代碼來看。

def manacher(s):
    center = 0
    mx = 0
    r = [1]
    
    t = "^"+s[0]
    for c in s[1:]:
        t += "#"+c
    t += "$"
    
    for i in xrange(1, len(t)-1):
        if i < mx: r.append(min(mx-i, r[2 * idx - i]))
        else: r.append(1)
        # 中心擴展確認
        while t[i-r[i]] == t[i+r[i]]: r[i] += 1
        # 右側邊界比較
        if mx < i + r[i]: mx, idx = i + r[i], i
    return r