量子退火介紹

量子退火介紹

【所有內容均是對官方文檔的學習記錄總結】

本文介紹了量子退火是什麼以及它是如何工作的，並介紹了量子退火所依賴的量子物理學相關知識點。

應用問題

量子退火處理器自然地返回低能量解決方案（return low-energy）；一些應用程序需要真實的最小能量(優化問題)，其他應用程序需要良好的低能量樣本(概率抽樣問題)。

優化問題：在優化問題中，我們需要從許多可能的組合中尋找最好的組合。物理學可以幫助解決這類問題，因爲我們可以把這類問題定義爲能量最小化問題。物理學的一個基本規則就是，任何事物都傾向於尋找一個最小能量狀態。如，物體從山上滑下來；熱的東西隨着時間的推移而冷卻下來。這種問題在量子物理中是存在的。簡單來講，量子退火就是利用量子物理尋找問題的低能態，從而找到最優或接近最優的元素組合。

採樣問題：從低能態採樣並表徵能量形態（energy landscape）對我們想要構建 現實中的概率模型的 機器學習問題來說是非常有用的。樣本爲我們提供了關於給定參數集的模型狀態的信息，然後用此來改善模型。

概率模型通過考慮我們知識中的差距和數據源中的錯誤來明確地處理不確定性。概率分佈表示模型中未觀測到的量和他們與數據之間的關係。數據的分佈是基於有限樣本集來近似的。該模型從觀察到的數據進行推斷，將觀測數據之前定義的先驗分佈轉換爲在觀測數據之後定義的後驗分佈，學習發生在這個轉換期間。如果訓練過程成功，學習的分佈類似於生成數據的分佈，允許對未觀察到的數據進行預測。

從基於能量的分佈中採樣是屬於計算密集型任務，這和D-Wave系統處理問題的方式非常匹配，也就是通過尋找低能態。

D-Wave系統中的量子退火機制

量子比特（qubits）是超導迴路（superconducting loops）的最低能量狀態，而超導迴路是D-Wave QPU的組成部分。這些能量狀態有循環電流和相應的磁場。（如圖Figure2.1）同經典比特一樣，qubit狀態可以是0或1，但是因爲qubit是量子對象，所以它同時是0態和1態的疊加態。在量子退火過程結束時，每個qubit從疊加態坍縮成0或1（經典狀態）。

Figure 2.1: A qubit’s state is implemented as a circulating current, shown clockwise for 0 and counter clockwise for 1, with a corresponding magnetic field.

物理過程用能量圖（energy diagram）可以可視化顯示如圖Figure2.2。這個圖隨時間變化，變化過程如圖(a)(b)©。剛開始，只有一個山谷（valley），一個最小值**（a）。量子退火過程開始運行，障礙（barrier）開始提高，然後能量圖就變成了雙勢阱（double-well potential）（b）**。此時，左谷的低點對應0態，右谷的低點代表1態。在退火結束時，qubit最終會出現在這些山谷中的一個。

Figure2.2 Energy diagram changes over time as the quantum annealing process runs and a bias is applied

其他條件相等的情況下，qubit最終停在0態或者1態是等概率的。但是，我們可以通過給qubit施加一個額外的磁場來控制qubit處於0態還是1態的的概率**（c）**。這個磁場使得雙勢阱電位傾斜，增加了qubit在低阱中的概率。控制外加磁場的可編程的量叫做偏置（bias），qubit在偏置存在的情況下最小化能量。

不過單獨的偏置項並沒有作用。當把這些qubit連接在一起的時候，它們能夠互相影響，qubit真正的能量就開始顯現出來了，這是利用一種叫做耦合器（coupler）的設備來完成的。一個coupler可以使兩個qubit趨向於同一種狀態，即都是0 state或1 state ，或者coupler可以使它們趨向於相反的狀態。就像一個qubit bias，耦合qubit之間的相關權重（weights）可以通過設置耦合強度來編程。總之，可編程biases（單個qubit所施加的外磁場）和weights（耦合量子比特之間的耦合權重）都是D-Wave系統中定義問題的方式。

當使用耦合器（coupler）的時候，我們使用的是另一種量子物理現象，被稱爲糾纏（entanglement）。當兩個qubits發生糾纏時，它們可以被認爲是擁有4種可能狀態的單個物體。Figure 2.3 描述了這一思想，該圖顯示了一個有四種狀態的勢能，每種狀態都相對應於兩個qubit之間不同的組合：(0,0),(0,1),(1,1) and (1,0)。每個狀態所對應的能量都決定於qubits之間的biases和coupling。在退火結束時，量子比特的狀態最終會穩定在(1,1)的狀態，在之前的退火過程中，qubit states 可能會在這個範圍（landscape）是沒有確定位置的（delocalized）。

Figure 2.3: Energy diagram showing the best answer

如前所述，每個qubit有一個bias，並且qubits之間是通過couplers相互作用。在制定問題的時候，用戶選擇biases和couplers的值。偏置和耦合定義一個能量範圍（The biases and couplings define an energy landscape），D-Wave計算機就是去尋找這個範圍的最小能量：這就是量子退火。

量子比特越多，系統變得越來越複雜。有了兩個量子比特，就有四種可能的狀態來定義一個能量範圍（energy landscape）。在三個量子位，我們有八個。對於添加的每一個量子位，可以定義 energy landscape 的狀態數翻了一番：狀態數隨着量子位數的增加呈指數增長。

總結：從一組qubits開始，每一個qubit都是處於0態和1態的疊加態，還沒有耦合。當在它們上面實現量子退火時，耦合(couplers)和偏置(biases)就被引入了，這時候qubits變得糾纏，在這一點上，系統處於許多可能答案的糾纏狀態。到退火結束時，每個qubit都處在一個表示問題的最小能量狀態的經典狀態（classical state），或者是一個非常接近它的狀態，發生在D-Wave系統中的這整個過程只需要幾微秒的時間。

量子退火所依賴的物理學

哈密頓量(Hamiltonian)和本徵譜(Eigenspectrum)

經典的Hamiltonian是對一些物理系統能量的數學描述。我們可以輸入系統的任何特定狀態，然後Hamiltonian返回的是那個狀態的能量。對於大多數非凸Hamiltonians，尋找最小能量狀態是一個經典計算機無法有效解決的NP-難問題。

舉個例子，假如一個蘋果和一張桌子構成一個簡單的系統，系統只有兩種可能的狀態：蘋果在桌子上，蘋果在地面上。哈密頓量可以告訴我們能量，也就是平在桌子上這個狀態的能量高於蘋果在地面上這個狀態的能量。

對於一個量子系統，Hamiltonian是一個把確定狀態（本徵態，eigenstates）映射爲能量的函數。只有當系統處於Hamiltonian的本徵態時，系統的能量定義爲**本徵能量。而當系統處於其他任何狀態時，系統的能量都是不確定的。定義了本徵能量的本徵態的集合組成了本徵譜**。

在D-Wave系統中，Hamiltonian 可以用如下式子表示：

$\displaystyle H_{ising}=\underbrace{-\frac{A(s)}{2}\left(\sum_{i}\hat\sigma_x^{(i)}\right)}_{\text{Initial Hamiltonian}} + \underbrace{\frac{B(s)}{2}\left(\sum_i h_i \hat\sigma_z^{(i)} + \sum_{i>j} J_{i,j} \hat\sigma_z^{(i)} \hat\sigma_z^{(j)}\right)}_{\text{Final Hamiltonian}} \tag {2.1}$

其中 $\hat\sigma_{x,z}^{(i)}$ 是量子比特 $q_{i}$ 上的Pauli矩陣，$h_i$和 $J_{i,j}$ 分別是量子比特的偏置（qubit bias）和耦合權重（coupling strengths）

注：$h_i$和 $J_{i,j}$ 僅限於工作圖（Chimara）中可用的值，Chimera後面會談到。

Hamiltonian 是初始哈密頓量和最終哈密頓量兩項的和。

• Initial Hamiltonian（first term）—— 當所有qubits 處在0和1的疊加態時初始哈密頓量的最低能量狀態。這一項也稱爲 隧穿哈密頓量 (tunneling Hamiltonian)。
• Final Hamiltonian（second term）—— 終態Hamiltonian量的最低能量狀態就是我們所解決問題的結果/答案。最終就是經典態，包含qubits偏置（bias）和qubits之間的耦合（coupling），這一項也稱爲問題哈密頓量 (problem Hamiltonian)

在量子退火中，我們從初始Hamiltonian 的最低能量本徵態開始。隨着退火的進行，引入包含 bias 和 couplers 的 problem Hamiltonian ，減小初始 Hamiltonian 的影響。在退火結束時，就處於 problem Hamiltonian 的本徵態（eigenstate）。最理想的情況是，在量子退火過程中，始終都保持最小能量狀態，所以到最後，仍然處於 problem Hamiltonian 的最小能量狀態，就得到了想要的答案。退火結束之後，每個 qubit 都是classical object。

低能態退火

本徵能量和時間的關係圖是一種很有用的可視化量子退火過程的方式。退火過程中的最低能量狀態（基態）通常顯示在底部，其他任何較高的激發態都在上方。如圖 Figure 2.4。

Figure 2.4: Eigenspectrum, where the ground state is at the bottom and the higher excited states are above.

當退火開始時，系統以最低能量狀態開始，該狀態與任何其他能級很好地分開。隨着問題哈密頓量的引入，其他能級可能會更加接近基態。它們越接近，系統從最低能量狀態跳躍到其中一個激發狀態的概率就越高。在退火過程中第一激發態（即除了基態外具有最低能量的激發態）有一個點會接近基態，然後再次發散。在整個退火過程中，基態和第一激發態之間的最小距離稱爲最小間隙（minimum gaps）。

某些因素會導致系統從基態躍遷到高能態，其中一個可能的因素就是物理系統的熱波動，另一個原因就是退火過程太快。一種不受外部能源干擾，並能夠足夠緩慢的演化 Hamiltonian 的退火過程稱爲絕熱過程（adiabatic process）。因爲現實世界的計算不可能完全孤立運行，所以在理論上的理想狀態是，量子退火的絕熱量子計算可能被當成是真實世界的對立面（counterpart）。在現實中，對一些問題來說，停留在基態的可能性有時很小。不過，返回的低能態仍然很有用。

對於不同的特定問題，其 Hamiltonian 和對應的本徵譜（eigenspectrum）都不同。對量子退火來說，最困難的問題通常是那些最小的 minimum gaps。

能量態的演化

Figure 2.5: Annealing function A(s), B(s). Annealing begins at s=0 with A(s)>>B(s) and ends at s=1 with A(s)<< B(s). Data shown are representative of D-Wave 2X systems.

圖2.5 顯示了在物理溫度不變的情況下，能量函數隨時間變化的過程，此圖以GHz爲單位繪製了$\frac{Energy}{h}$,其中 $h$ 是普朗克常量（$6.6×10^{-34}$ joule-seconds），歸一化退火參數 $s$ 是從0到1的抽象參數。曲線 $A(s)$ 是退火能量，曲線 $B(s)$ 是 $s$ 上的 problem Hamiltonian 能量。線性退火集 $s=t/t_f$ 其中 $t$ 是時間變化量,$t_f$ 是整個退火時間。在 $t=0$ 時刻，$A(0)>>B(0)$ ,這就導致了量子系統的基態，該系統上的每個自旋都是經典態的離域組合(delocalized combination)。隨着系統退火的進行，$A$ 下降，$B$ 上升到 $t_f$ ，qubit 的終態就代表了低能量方案。

在退火結束之後，Hamiltonian 只包含 $B(s)$ 項。這時就是一個經典 Hamiltonian，其中每個可能的經典比特串（即0或1的 qubit state 列表）對應一個本徵態，並且本徵能量就是我們要輸入到系統中的經典能量目標函數。