Ising模型、QUBO 及 Chimera Graph（QPU 架構）介紹

Ising模型、QUBO 及 Chimera Graph（QPU 架構）介紹

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用 D-Wave QPU 來構建問題需要知道以下幾個概念：目標函數、Ising 模型、二次無約束二值優化問題（QUBOs, quadratic unconstrained binary optimization problems）和圖。這篇介紹這些概念。

目標函數

想要理解如何用D-Wave系統可以解決的問題形式來表述（問題），首先需要定義一個目標函數（objective function），用這個目標函數表示系統的能量，是表示qubits 的二值變量的函數。多數情況下，目標函數的能量越低，解就越好。有時任何低能態都是原始問題的可接受範圍的解；只有對其他一些問題，必須是最優解纔可以。通常最優解對應於解空間的 global minimum 能量。如圖3.1所示。

Figure 3.1: Energy of objective function.

對於二次函數，每一項都有1或2個變量：

$\displaystyle D=Ax+By+Cxy \tag{3.1}$

其中 $A,B,C$ 都是常量。單變量項（比如 $Ax$ and $By$）是線性的，表示偏置變量。兩變量項（比如 $Cxy$）表示變量之間的關係是二次的。

Ising and QUBO

目標函數的兩種形式爲：Ising 和 QUBO，這兩種模型之間的區別很小。

Ising 模型

Ising 模型是統計力學中常用的模型，變量有“自旋向上(spin up)（$\uarr$）”和“自旋向下(spin down)（$\darr$）,這兩個狀態分別代表 $+1$ 和 $-1$.由耦合(couplings)表示的自旋之間的關係是相關或非相關。目標函數可以用如下Ising模型來表示：

$\displaystyle E_{ising}(s)=\sum^{N}_{i=1} h_i s_i + \sum^N_{i=1} \sum^N_{j=i+1} J_{i,j} s_i s_j\tag{3.2}$

其中對應 qubit 偏置（bias）的線性係數是 $h_i$ ,對應耦合權重（coupling strengths）是 $J_{i,j}$。

QUBO

QUBO 問題通常用在計算機科學中，TRUE 和 FALSE 狀態對應於1和0。一個QUBO問題是由上對對角矩陣 $Q$（$N×N$的實值上三角矩陣）和 $x$（二元變量的向量）來定義的。最小化函數：

$\displaystyle f(x)=\sum_i Q_{ii} x_i + \sum_{i<j} Q_{i,j} x_i x_j \tag{3.3}$

其中對角項$Q_{i,j}$是線性係數，非零的非對角項時的二次係數。可以用如下式子精確表示：

$\min\limits_{x \in\{0,1\}^n} x^T Qx. \tag{3.4}$

用標量表示法（後面表述通常都用的這一表示法），QUBO 的目標函數可以用如下式子表示：

$E_{qubo}(a_i,b_{i,j};q_i) = \sum\limits_i a_i q_i + \sum\limits_{i<j}b_{i,j} q_i q_j \tag{3.5}$

表示法對比

圖3.2 比較了 Ising 和 QUBO 的記號以及相關的術語。Ising 和 QUBO 的轉換關係可以用下式表示（根據States也可以分析得出）：

$s = q·2-1 \tag{3.6}$

Figure3.2: Notation conventions.. 圖3.2中的 Graph 在這裏指的是無向圖。目標函數可以用 graphs 來表示。圖是由節點（表示變量）和節點之間的連接（邊）組成。

比如，兩個變量的二次等式可以用如下式子來表示：

$H(a,b) = 5a + 7 ab - 3 b \tag{3.7}$

如圖3.3所示，兩個節點 $a$ 和 $b$ 的 bias 分別是 5 和 -3，節點之間的權重是 7. 在D-Wave系統中，無向圖的節點就是 qubit ，無向圖的邊就是 couple 。

Figure3.3: Two-variable objective function.

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D-Wave QPU 架構：Chimera

想要把 QUBO 或者 Ising 這樣的目標函數轉換成 D-Wave 系統能夠處理的格式，首先我們要了解一下 D-Wave QPU 的佈局。D-Wave QPU 是相互連接的 qubits 組成的晶格，雖然 qubit 之間是通過耦合連接的，但 D-Wave QPU 是不完全連接的。qubits 相互連接的結構稱爲 Chimera。

Chimera 結構是由 unit cells 相互連接而成，垂直（每列）的四個 qubit 和 水平（另外列）的四個 qubit 通過 couplers 連接，產生了一個 qubits 稀疏連接的晶格。如圖 4.1。符號 $C_N$ 表示由 $N×N$ 個 unit cells 組成的 Chimera 圖。D-Wave 2000Q QPU 支持 $C_{16}$ Chimera 圖：2048個qubit 映射到 $16×16$ unit cells 矩陣，每個 unit cells 有 8 個 qubits。在D-Wave QPU 中，可用於計算的一組 qubits 和 couplers 稱爲 working graph。通常在實際QPU中，working graph 的數量是少於 qubits 和 couplers 的數量的。（部分可能不起作用）

Figure 4.1: A 3x3 Chimera graph, denoted C3. Qubits are arranged in 9 unit cells.

Figure 4.2: Cross or column layout of qubits in a unit cell

如圖4.2，一個 unit cell 的佈局可以是 cross 形式的也可以是 column 形式的。每個圖中，都可以看到含有4個 qubits 的兩組。每組（4個qubits）中的每一個qubit都和另外組的所有qubits相連接，但是不會和同一個組內的其他qubit相連接。在 unit cell 中，qubit 具有 二分圖連通性（bipartite connectivity）。

表示目標函數的圖中的 nodes 和 edges 可以轉換爲 Chimera 中的 qubits 和 couplers。在目標函數圖中，每個邏輯 qubit 都可以由一個或多個物理 qubit 表示。把邏輯 qubits 映射物理 qubits 的過程稱爲 minor embedding。

【注】：通過SAPI可獲取 minor embedding 的工具。也可以手動實現，在[Minor-Embedding a Problem onto the Chimera Graph] 這一部分會講到。