服從廣義高斯分佈樣本的參數估計

      圖片經過帶通濾波（如DCT變換頻域係數、小波變換後的小波係數，gabor方向濾波器濾波後的係數）後，其係數服從廣義高斯分佈，廣義高斯分佈公式如下所示：

參數是廣義高斯分佈的形狀參數，是與標準差有關的參數，x是帶通濾波後的係數。當=2時廣義高斯分佈就是正態高斯分佈，此時是標準差的倍。其中分母中的gamma函數如下所示：

    令，濾波後的係數通過這一變換，轉化爲變量Y，通過證明可以得出變量Y服從gamma分佈其概率密度公式如下所示：

Y的前兩階中心矩爲

       

進一步得到關於的方程式：

令

目前的目的是要求解廣義高斯分佈形狀參數，現在以得到關於的方程式，可以利用Newton–Raphson方法迭代求出該數值解。

當有n個服從廣義高斯分佈的樣本時，可以估算出(這裏可以給出一個估算值，後面迭代的時候是逐步收斂到理論值)。

最終由樣本數據得出的關於的方程爲

利用Newton–Raphson迭代方法得出更新方程爲

這裏運用求導數的除法公式和指數函數求導公式可以求出。下面是推導過程：

令

                         

                    

得到後，利用Newton–Raphson迭代運算便可以得到形狀參數理論值近似值。

利用形狀參數估計：

下面給出其實現的matlab代碼，該代碼是在文獻“A globally convergent and consistent method for estimating the shape parameter of a generalized Gaussian distribution”基礎理論基礎之上編寫而成。

function [theta, sigma] = ggd_fit(x, theta0)
%
%[theta, sigma] = ggd_fit(x, theta0);
% 根據樣本估計單維廣義高斯分佈的參數值
% x是樣本向量
% theta0是形狀參數的初始值
% theta是迭代完成後的形狀參數值
% sigma是迭代完成後與方差有關的參數值
% 該程序是根據文獻    A globally convergent and consistent method for estimating the shape parameter of a generalized Gaussian distribution
% 編寫而成，在原作者Lingyun Zhang 基礎上修改某些部分 增強了程序的魯棒性。


% number of sample points
x = x(find(abs(x)>0.001));
n = length(x);

% estimate the shape parameter
theta = theta0;
i=1;
T(1)=theta0;
while (1)
    Y1 = mean(abs(x).^theta);
    Y2 = mean(abs(x).^(2*theta));
    Z = Y2 / Y1 / Y1 - (theta+1);
    U1 = mean(abs(x).^theta.*log(abs(x)));%Y1對theta求導
    U2 = mean(abs(x).^(2*theta).*log(abs(x)));%Y2平方對theta求導
    Z_dot = 2*U2/Y1/Y1 - 2*U1*Y2/Y1/Y1/Y1 - 1;%Z求導結果
    theta = theta - Z/Z_dot;
    i=i+1;
    T(i) = theta;
    if theta<0.001
         theta= theta0+4;
           thta0=theta;
           T(i) = theta;
    
    else if abs(T(i-1)-T(i))<10e-10 
        if theta>0.001
        break; 
        else
           theta= theta0+4;
           thta0=theta;
           T(i) = theta;
        end
        end
    end
end;

% estimate the scale parameter
sigma = ((theta/n) * sum(abs(x).^theta)) .^ (1/theta);

       利用該代碼對1000個服從均值爲0，標準差爲2的正態分佈樣本進行參數估計，得出結果爲theta=1.7871，sigma=2.6512；因爲標準高斯分佈形狀參數爲2，所以估計值1.7871合適。對於標準高斯分佈sigma是標準差的倍，所以估計出的標準差爲2.6512/1.412=1,8747,與理論值2接近，所以此次參數估計是成功的。增加樣本個數可以提高估計精度。