CF 618G

题目大意

一开始有N 个空位。给定一个概率P 。每次你有P 的概率在第N 个空位加入一个1 ，有1−P 的概率加入一个2 。加入之后，你会将这个数字往前推，假如当前数字遇到了另外一个和他值一样的数字，设为v ，那么当前空位的数字变为v+1 ，并且继续往前推。直到到达边界或遇到一个不一样的数字。游戏结束当且仅当所有空位都放了数字。一种结束局面的权值定义为所有数字的和。问你最终结束时局面的期望权值。

数据范围

N≤109
10−9≤P≤1 ，且P 的精度范围为10−9

题解

设Ai,j 表示当前有i 个格子，能够凑出数字j 的概率，注意只能能凑出，没有保证最终一定是。那么很显然的，Ai,j=Ai,j−1∗Ai−1,j−1 。

Bi,j 的意义是一样的。只是保证在一开始放的数字是2。那么
Bi,j=Bi,j−1∗Ai−1,j−1

那么我们再做些更正，即Ai,j,Bi,j 的意义变为第i 个恰好为j 的概率。那么
Ai,j=A′i,j∗(1−A′i−1,j) ，A′ 是上面求的A 。

而且可以发现的一点是，当j 很大时，Ai,j 就趋近于0了。因为他大概是以平方级别变化，那么事实上当j≥50 时就等于0了。
还有一点是，当i 比较大时，Ai,j=Ai−1,j ，分析方法同理。那么事实上，只需要预处理出1≤i≤50 的值就好了。

接来下考虑怎么求答案。

设dpi,j 表示当前有i 个格子，第一个格子的值为j ，且不会与其他数字结合的期望权值。我们对j 进行分类讨论。

1. j=1
   那么只需要第二个格子不是1就好了。可以得到递推式
   
   dpi,j=j+∑50k=2dpi−1,k∗Bi−1,k∑50k=2Bi−1,k

这就是为什么我们要预处理出B ，因为我们第一个塞进来的不能是1，否则就合并了。
而且递推式的分母其实就是出现这种情况的概率。

2.j>1
可以发现的是，第二个格子的值必然比j 要小，不然的话肯定会发生合并。那么我们就可以得到另一条式子了

dpi,j=j+∑j−1k=1dpi−1,k∗Ai−1,k∑j−1k=1Ai−1,k

但这题到这里还没结束，因为N≤109 !
但之前说了，由于j≤50 而且当N>50 时AN,j=AN−1,j ，也就是说，我们只需要求出dp1−>50 ，对于N>50 的，每次转移的系数都是一样的！那么我们就可以构出转移的矩阵，直接转移就好了。

那么我们最终的答案就是

∑j=150dpN,j∗AN,j

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAXN = 55;

typedef double Matrix[MAXN][MAXN];

Matrix A,B,Trans,Dp,Cur;
double Out[55];
int N;

void Mul(Matrix &a,Matrix &b,Matrix &c)
{
    static Matrix Tmp;
    memset(Tmp,0,sizeof Tmp);
    for(int i = 0;i <= 50;i ++)
        for(int k = 0;k <= 50;k ++)
            for(int j = 0;j <= 50;j ++)
                Tmp[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
    memcpy(c,Tmp,sizeof c);
}

int main()
{
//  freopen("data.in","r",stdin),freopen("data.out","w",stdout);
    double p,q;
    scanf("%d%lf", &N, &p);
    p = p / (1e9),q = 1 - p;
    for(int i = 1;i <= 50;i ++)
        for(int j = 1;j <= 50;j ++)
        {
            if (j == 1) A[i][j] += p;
            if (j == 2) A[i][j] += q,B[i][j] += q;
            A[i][j] += A[i][j - 1] * A[i - 1][j - 1];
            B[i][j] += B[i][j - 1] * A[i - 1][j - 1];
        }
    for(int i = 50;i;i --)
        for(int j = 1;j <= 50;j ++)
            A[i][j] *= (1 - A[i - 1][j]),B[i][j] *= (1 - A[i - 1][j]);
    for(int j = 1;j <= 50;j ++) Dp[1][j] = j;
    for(int i = 2;i <= 50;i ++)
        for(int j = 1;j <= 50;j ++)
        {
            double s = 0;
            if (j == 1)
            {
                for(int k = 2;k <= 50;k ++) Dp[i][j] += Dp[i - 1][k] * B[i - 1][k],s += B[i - 1][k];
            } else
                for(int k = 1;k < j;k ++) Dp[i][j] += Dp[i - 1][k] * A[i - 1][k],s += A[i - 1][k];
            Dp[i][j] /= s;
            Dp[i][j] += j;
        }
    Trans[0][0] = 1;
    for(int j = 1;j <= 50;j ++) Trans[0][j] = j;
    //For j = 1
    double s = 0;
    for(int k = 2;k <= 50;k ++) s += B[50][k];
    for(int k = 2;k <= 50;k ++) Trans[k][1] += B[50][k] / s;
    //For j not equal 1
    for(int j = 2;j <= 50;j ++)
    {
        s = 0;
        for(int k = 1;k < j;k ++) s += A[50][k];
        for(int k = 1;k < j;k ++) Trans[k][j] += A[50][k] / s;
    }   
    int bk = N;
    if (N > 50)
    {
        memcpy(Cur[0],Dp[50],sizeof Cur);
        Cur[0][0] = 1;
        for(N -= 50;N;N >>= 1)
        {
            if (N & 1) Mul(Cur,Trans,Cur);
            Mul(Trans,Trans,Trans);
        }
        memcpy(Out,Cur[0],sizeof Out);
    } else memcpy(Out,Dp[N],sizeof Out);
    double ans = 0;
    for(int j = 1;j <= 50;j ++) ans += Out[j] * A[bk > 50 ? 50 : bk][j];
    printf("%.15f\n", ans);
    return 0;
}