数据结构(20)--DAG应用之AOE网的关键路径

参考书籍：数据结构（C语言版）严蔚敏吴伟民编著清华大学出版社

本文中的代码可从这里下载：https://github.com/qingyujean/data-structure

1.关键路径

对整个工程和系统，人们关心的是两个方面的问题：
    1）工程能否顺利进行
       对AOV网进行拓扑排序
    2）估算整个工程完成所必须的最短时间
       对AOE网求关键路径

    AOE－网(Activity On Edge Network)：即边表示活动的网。AOE网是一个带权的有向无环图。其中：顶点表示事件（Event），边表示活动（Activity），权值表示活动持续的时间。通常可用AOE网来估算工程的完成时间。

    由于整个工程只有一个开始点和一个完成点，在正常的情况（无环）下，网中只有一个入度为零的点（称作源点）和一个出度为零的点（称作汇点）

    依据AOE-网可以研究什么问题？
（1）完成整项工程至少需要多少时间？
（2）哪些活动是影响工程进度的关键？

    完成工程的最短时间是从源点到汇点的最长路径的长度。路径长度最长的路径叫做关键路径。
    假设开始点是v1，从v1到vi的最长路径长度叫做事件vi的最早发生时间。这个时间决定了所有以vi为尾的弧所表示的活动的最早开始时间。
    用e(i)表示活动ai的最早开始时间。
    活动的最迟开始时间l(i)，这是在不推迟整个工程完成的前提下，活动ai最迟必须开始进行的时间。
    l(i)－e(i)两者之差意味着完成活动ai的时间余量。我们把l(i)＝e(i)的活动叫做关键活动。
    显然，关键路径上的所有活动都是关键活动，因此提前完成非关键活动并不能加快工程的进度。 
    由此可知：辨别关键活动就是找e(i)＝l(i)的活动。为求得AOE网中活动的e(i)和l(i)，首先应求得事件的最早发生时间 ve(j)和 最迟发生时间vl(j)。
 

    若活动ai由弧<i,j>表示，持续时间记为dut(<i,j>)，则有如下关系：
    活动i的最早开始时间等于事件i的最早发生时间：e(i)＝ ve(i)
    活动i的最迟开始时间等于事件j的最迟时间减去活动i的持续时间： l(i)＝ vl(j) - dut(<i，j>)
    求ve(j)和 vl(j)需分两步进行：
ve[j]和vl[j]可以采用下面的递推公式计算：
（1）向汇点递推
    ve(源点) = 0 ；
    ve(j) = Max{ ve(i) + dut(<i, j>)}
公式意义：从指向顶点Vj的弧的活动中取最晚完成的一个活动的完成时间作为Vj的最早发生时间ve[j]
2） 向源点递推
     由上一步的递推，最后总可求出汇点的最早发生时间ve[n]。因汇点就是结束点，最迟发生时间与最早发生时间相同，即vl[n]=ve[n]。从汇点最迟发生时间vl[n]开始，利用下面公式：
    vl(汇点) = ve(汇点);
    vl(i) = Min{ vl(j) – dut(<i, j>) }
公式意义：由从Vi顶点指出的弧所代表的活动中取最早开始的一个开始时间作为Vi的最迟发生时间。 

2.算法描述

由此得到下述求关键路径的算法：
1）输入e条弧<i,j>，建立AOE网的存储结构。
2）从源点v0出发，令ve[0]＝0按拓扑有序求其余各顶点的最早发生时ve[i]（1≤i≤ n-1）。如果得到的拓扑有序序列中顶点个数小于网中顶点数n，则说明网中存在环，不能求关键路径，算法终止；否则执行步骤（3）。
3）从汇点vn出发，令vl[n-1]= ve[n-1]，按逆拓扑有序求其余各顶点的最迟发生时间vl[i] (n-2 ≥i≥ 0)；
4）根据各顶点的ve和vl值，求每条弧s的最早开始时间e(s)和最迟开始时间l(s)。若某条弧满足条件e(s)=l(s)，则为关键活动。

 

如上所述，计算顶点的ve值是在拓扑排序的过程中进行的，需对拓扑排序的算法作如下修改：
    1）在拓扑排序之前设初值，令ve(i)=0（0<=i<n-1）;
    2）在算法中增加一个计算vi的直接后继vj的最早发生时间的操作：若 ve(i)+dut(<i,j>) > ve(j), 则 ve(j) = ve(i)+dut(<i,j>)；
    3）为了能按逆拓扑有序序列的顺序计算各顶点的vl值，需记下在拓扑排序的过程中求得的拓扑有序序列，则需要在拓扑排序算法中，增设一个栈以记录拓扑有序序列，则在计算求得各顶点的 ve 值之后，从栈顶至栈底便为逆拓扑有序序列。

示例：求下图AOE网的关键路径

AOE网中顶点事件和活动的发生时间：

总结：总之，关键路径的求解操作包括：

1）计算 ve[j] 和 vl[j] 
 ① 向汇点递推
 ve(源点) = 0 ；
 ve(j) = Max { ve(i)+ dut(<i, j>)}
 ② 向源点递推
 vl(汇点) = ve(汇点);
 vl(i) = Min { vl(j) – dut(<i, j>)}
2）判断 l(i) = e(i)的活动（关键活动）

3.代码实现

3.1定义

 

/*DAG 有向无环图的应用--关键路径：能否顺利完成工程，即检查是否存在环（拓扑排序），如果无环，则求解整个工程完成所必须的最短时间
AOE网：边表示活动的网，是一个带权的DAG

  关键路径即路径长度最长的路径
  即完成工程的最短时间是从开始点到完成点的最长路径的长度（这里所说的路径长度是指各活动持续时间之和，不是路径上弧的数目）
  关键活动：关键路径上的所有活动，特点：最早开始时间=最迟开始时间
*/

//本示例依然以邻接表作为有向图的存储结构
/*
DAG 有向无环图的应用--拓扑排序：能否顺利完成工程，即检查是否存在环，
AOV网：顶点表示活动的网

除了拓扑排序检查环以外，还可以用DFS
当有向图中无环时，从图中某点进行深度优先遍历时，最先退出DFS函数的顶点即出度为0的顶点，是拓扑序列中的最后一个顶点，由此，按退出DFS函数的先后记录下来的顶点序列，即为逆向的拓扑有序序列
*/

//本次示例采用邻接表作为有向图的存储结构


#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
/*
图的表示方法
DG（有向图）或者DN（有向网）：邻接矩阵、邻接表（逆邻接表--为求入度）、十字链表
UDG（无向图）或者UDN（无向网）：邻接矩阵、邻接表、邻接多重表
*/
#define MAX_VERTEX_NUM 10//最大顶点数目
#define NULL 0
typedef int VRType;//对于带权图或网，则为相应权值
typedef int VertexType;//顶点类型
//typedef enum GraphKind {DG, DN, UDG, UDN};  //有向图：0，有向网：1，无向图：2，无向

typedef struct ArcNode{	
	int adjvex;//该弧所指向的顶点的在图中位置
	VRType w;//弧的相应权值
	struct ArcNode *nextarc;//指向下一条弧的指针
}ArcNode;//弧结点信息

typedef struct VNode{
	VertexType data;//顶点信息

	ArcNode *firstarc;//指向第一条依附该顶点的弧的指针
}VNode, AdjVexList[MAX_VERTEX_NUM];//顶点结点信息

typedef struct{
	AdjVexList vexs;//顶点向量
	int vexnum, arcnum;//图的当前顶点数和弧数
	//GraphKind kind;//图的种类标志
}ALGraph;//邻接表表示的图

 

 

#define OK 1
#define ERROR 0
typedef int status;

int indegree[MAX_VERTEX_NUM] = {0};//存放各个顶点的入度的数组
int ve[MAX_VERTEX_NUM];//事件的最早发生时间
int vl[MAX_VERTEX_NUM];//事件的最迟发生时间


typedef struct{
	int s[MAX_VERTEX_NUM];
	int top;
}stack;

 

 

 

3.2邻接表表示有向网

 

 

//若图G中存在顶点v，则返回v在图中的位置信息，否则返回其他信息
int locateVex(ALGraph G, VertexType v){
	for(int i = 0; i < G.vexnum; i++){
		if(G.vexs[i].data == v)
			return i;
	}
	return -1;//图中没有该顶点
}


//采用邻接表表示法构造有向图G
void createDG(ALGraph &G){
	printf("输入顶点数和弧数如:(5,3):");
	scanf("%d,%d", &G.vexnum, &G.arcnum);

	//构造顶点向量,并初始化
	printf("输入%d个顶点（以空格隔开如：v1 v2 v3）:", G.vexnum);
	getchar();//吃掉换行符
	for(int m = 0; m < G.vexnum; m++){
		scanf("v%d", &G.vexs[m].data);
		G.vexs[m].firstarc = NULL;//初始化为空指针////////////////重要！！！
		getchar();//吃掉空格符
	}

	//构造邻接表
	VertexType v1, v2;//分别是一条弧的弧尾和弧头（起点和终点）
	VRType w;//对于无权图或网，用0或1表示相邻否；对于带权图或网，则为相应权值	
	printf("\n每行输入一条弧依附的顶点（先弧尾后弧头）和权值（如：v1 v2 3）:\n");
	fflush(stdin);//清除残余后，后面再读入时不会出错
	int i = 0, j = 0;
	for(int k = 0; k < G.arcnum; k++){
		scanf("v%d v%d %d",&v1, &v2, &w);
		fflush(stdin);//清除残余后，后面再读入时不会出错
		i = locateVex(G, v1);//弧起点
		j = locateVex(G, v2);//弧终点
		
		//采用“头插法”在各个顶点的弧链头部插入弧结点
		ArcNode *p1 = (ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode));//构造一个弧结点，作为弧vivj的弧头（终点）
		p1->adjvex = j;
		p1->w = w;
		p1->nextarc = G.vexs[i].firstarc;
		G.vexs[i].firstarc = p1;
		/*因为是有向图，所以不必创建2个弧结点
		ArcNode *p2 = (ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode));//构造一个弧结点，作为弧vivj的弧尾（起点）
		p2->adjvex = i;
		//p2->w = w;
		p2->nextarc = G.vexs[j].firstarc;
		G.vexs[j].firstarc = p2;
		*/
	}
}

 

3.3关键路径求解算法的实现

 

改进的拓扑排序：

 

void findInDegree(ALGraph G, int indegree[]){	
	ArcNode *p;
	for(int i = 0; i < G.vexnum; i++){
		for(p = G.vexs[i].firstarc; p; p = p->nextarc){
			indegree[p->adjvex]++;
		}
	}	
}

//如有向图无回路，则产生G的顶点的一个拓扑序列并存到栈T中并返回OK，否则返回ERROR
//有向网G采用邻接表做存储结构，求解各个顶点事件的最早发生时间ve
status toplogicalOrder(ALGraph G, stack &T){
	//先初始化各个顶点的入度
	findInDegree(G, indegree);

	stack S;//维护一个栈来存放入度为0的顶点，当栈为空时，则说明图中不存在无前驱的顶点了（即没有入度为0的顶点了），说明图中无环
	S.top = 0;//否则如果此时仍然存在顶点，而且这些顶点有前驱，则说明有环

	//将入度为0的顶点入栈
	for(int i = 0; i < G.vexnum; i++){
		if(!indegree[i]){
			S.s[S.top++] = i;
		}
	}
	//初始化事件的最早发生时间数组ve
	for(i = 0; i < G.vexnum; i++){
		ve[i] = 0;
	}

	int count = 0;//对输出的顶点计数
	ArcNode *p;
	while(S.top != 0){//栈不为空
		int topElemVex_i = S.s[--S.top];//栈顶元素出栈，即第一个无前驱的顶点
		//printf("v%d ", G.vexs[topElemVex_i].data);//输出当前结点
		T.s[T.top++] = topElemVex_i;//入T栈，即为拓扑序列中的一份子
		count++;

		//去掉以该结点为前驱的点与他的弧，以将相关顶点的入度减1的操作来实现
		for(p = G.vexs[topElemVex_i].firstarc; p; p = p->nextarc){
			indegree[p->adjvex]--;
			if(!indegree[p->adjvex]){
				S.s[S.top++] = p->adjvex;//入度为0者入栈
			}
			//出S栈的栈顶元素是拓扑序列当前访问的结点，按拓扑序列，那么接下来以他为前驱的顶点的最早发生时间可能就会需要更新
			//更新顶点vi到v(p->adjvex)，v(p->adjvex)的最早发生时间
			if(ve[topElemVex_i] + p->w > ve[p->adjvex]){
				ve[p->adjvex] = ve[topElemVex_i] + p->w ;
			}
		}
	}
	printf("\n");

	if(count < G.vexnum)//该有向图有回路
		return ERROR;
	else
		return OK;
}

求解关键活动：

 

 

//G为有向网，输出G的各项关键活动
status criticalPath(ALGraph G, stack T){
	if(!toplogicalOrder(G, T))
		return ERROR;
	
	//初始化事件的最迟开始时间数组vl
	for(int i = 0; i < G.vexnum; i++){
		vl[i] = ve[G.vexnum-1];//均初始化成汇点的最早发生时间
	}

	ArcNode *p;
	while(T.top != 0){//不为空栈，栈T里存放了拓扑序列，从栈顶到栈底为拓扑逆序
		int topElemVex_i = T.s[--T.top];//栈顶元素出栈，按拓扑逆序出栈

		//按拓扑逆序求解各顶点的最迟开始时间
		for(p = G.vexs[topElemVex_i].firstarc; p ; p = p->nextarc){//p指向的顶点是topElemVex_i顶点的直接后继
			if(vl[p->adjvex] - p->w < vl[topElemVex_i]){
				vl[topElemVex_i] = vl[p->adjvex] - p->w;
			}
		}
	}

	/*
	//test
	for(i = 0; i < G.vexnum; i++){
		printf("%d %d\n", ve[i], vl[i]);
	}
	*/




	printf("\n");
	//然后开始求解活动的最早开始时间和最迟开始时间,有几个活动就有几条边，注意我们的存储结构是邻接表
	//所以依次访问邻接表中的每个顶点指着的弧链表，就可以访问到所有的弧结点
	int ee;//活动的最早发生时间
	int el;//活动的最迟发生时间
	char tag;//表示是否是关键活动，'*'表示是关键活动
	for(i = 0; i < G.vexnum; i++){
		for(p = G.vexs[i].firstarc; p ; p = p->nextarc){//P指向每个弧节点
			//此时是弧：vi---v(p->adjvex),p指向vi的后继，弧p对应的最早开始时间与最迟开始时间分别为ee,el
			ee = ve[i];//ee为活动前一时间的最早开始时间
			el = vl[p->adjvex] - p->w;//el= 活动后事件的最迟开始时间-活动持续时间
			tag = (ee == el) ? '*' : ' ';
			printf("v%dv%d:%d, 活动最早开始时间：%d，活动最晚开始时间：%d，%c\n", G.vexs[i].data, G.vexs[p->adjvex].data, p->w, ee, el, tag);//输出活动的ee与el，标识有*号的代表关键活动
		}
	}
	printf("\n");
	return OK;
}

 

 

 

3.4演示

 

 

/*测试：
6,8
v1 v2 v3 v4 v5 v6

v1 v2 3
v1 v3 2

v2 v4 2
v2 v5 3

v3 v4 4
v3 v6 3

v4 v6 2
v5 v6 1
*/
void main(){
	ALGraph G;
	createDG(G);
	//printAdjList(G);
	
	stack T;//维护一个栈，用来存储拓扑有序序列
	T.top = 0;

	//toplogicalOrder(G, T);
	/*
	printf("该图的拓扑排序序列为：");
	for(int i = 0; i < T.top; i++)//从栈底到栈顶是一个拓扑序
		printf("v%d ", G.vexs[T.s[i]]);
	printf("\n");
	*/

	criticalPath(G, T);			
}

 

 

 

 

 

总结：
    有向无环图是描述一项工程或系统的进行过程的有效工具。
    AOV网（顶点表示活动的有向网）与拓扑排序－－解决工程或系统能否顺利进行；
    AOE网（边表示活动的有向网）和关键路径问题－－估算整个工程完成所必须的最短时间，求解哪些活动为关键活动。

    提高关键活动的速度，才有可能加快整个工程的进度，提高非关键活动则是不可能加快整个工程的的。但是关键活动的速度提高是有限度的，只有在不改变网的关键路径的情况下，提高关键活动的速度才有效。另一方面，若网中有几条关键路径，那么单单提高一条关键路径上的关键活动的速度，还不能导致整个工程缩短工期，而必须提高同时在几条关键路径上的活动的速度。