數據結構(18)--Prim算法求解無向網的最小生成樹

參考書籍：數據結構（C語言版）嚴蔚敏吳偉民編著清華大學出版社

本文中的代碼可從這裏下載：https://github.com/qingyujean/data-structure

1.最小生成樹

    對於帶權的連通圖(連通網)G，其生成樹也是帶權的，將權值之和最小的生成樹稱爲最小生成樹。

    最小生成樹的MST性質：
    假設 N =（V,{E}）是一個連通網，U是頂點集 V 的一個非空子集。若（u,v）是一條具有最小權值（代價）的邊，其中 u ∈U，v∈V-U，則必存在一棵包含邊（u,v）的最小生成樹。

2.普里姆（Prim）算法

    基本思想：
    (1)假設 G=(V,{E}) 是一個具有 n 個頂點的連通網絡，T=(U，{TE})是 G 的最小生成樹，其中 U 是 T 的頂點集，TE 是 T 的邊集，U 和 TE 的初值均爲空；
    (2)從 V 中任取一個頂點（假定爲 V1），將此頂點併入 U中，此時最小生成樹頂點集 U={V1}；
    (3)從那些其中一個端點已在 U 中，另一端點仍在 U 外的所有邊中，找一條最短（即權值最小）的邊，設該邊爲(Vi,Vj)，其中 Vi∈U，Vj∈V-U，並把該邊和頂點 Vj分別併入 T 的邊集 TE 和頂點集 U；
    (4)如此進行下去，每次往生成樹裏併入一個頂點和一條邊，直到 n-1 次後，把所有 n 個頂點都併入生成樹 T 的頂點集 U 中，此時 U=V，TE中包含有（n-1）條邊；這樣，T 就是最後得到的最小生成樹。

    算法時間複雜度O(n^2)，與邊無關，適合求解邊稠密的網的最小生成樹。

    實現該算法需附設一個輔助數組closedge，以記錄從 U 到 V-U 具有最小代價的邊。對每個頂點 vi∈V-U，在輔助數組中存在一個相應分量closedge[i-1](下標從0開始)，它包括兩個域。其中：lowcost存儲該邊上的權。顯然，
   closedge[i-1].lowcost = Min{cost(u，vi)|u∈U}    即vi到已生成子樹的最短距離等於到U中所有頂點中的最小邊的權值。
   adjvex域存儲該邊依附的在U中的頂點。

    示例：求下圖最小生成樹。假設開始頂點就選爲頂點1，故有U={1}，V-U={2，3，4，5，6}

    

3.代碼實現

3.1定義

 

#include<stdio.h>
//#include<stdlib.h>
/*
圖的表示方法
DG（有向圖）或者DN（有向網）：鄰接矩陣、鄰接表（逆鄰接表--爲求入度）、十字鏈表
UDG（無向圖）或者UDN（無向網）：鄰接矩陣、鄰接表、鄰接多重表
*/

//1.數組表示法（鄰接矩陣）：將以有向網爲例
#define INFINITY 32767//最大值：假定爲無窮大
#define MAX_VERTEX_NUM 10//最大頂點數目
//typedef enum GraphKind {DG, DN, UDG, UDN};  //有向圖：0，有向網：1，無向圖：2，無向網：3

typedef int VRType;//頂點關係類型，對於無權圖或網，用0或1表示相鄰否；對於帶權圖或網，則爲相應權值
typedef int VertexType;//頂點類型
typedef VRType AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
typedef struct{
	VertexType vexs[MAX_VERTEX_NUM];//頂點向量
	AdjMatrix arcs;//鄰接矩陣
	int vexnum, arcnum;//圖的當前頂點數和弧數
	//GraphKind kind;//圖的種類標誌
}MGraph;//鄰接矩陣表示的圖


typedef struct{
	VertexType adjvex;
	VRType lowcost;
}closedge[MAX_VERTEX_NUM];//記錄從頂點集U到V-U的代價最小的邊的輔助數組
closedge close;

 

3.2鄰接矩陣構造無向網G

 

 

//若圖G中存在頂點v，則返回v在圖中的位置信息，否則返回其他信息
int locateVex(MGraph G, VertexType v){
	for(int i = 0; i < G.vexnum; i++){
		if(G.vexs[i] == v)
			return i;
	}
	return -1;//圖中沒有該頂點
}

//採用鄰接矩陣表示法構造無向網G
void createUDN(MGraph &G){
	printf("輸入頂點數和弧數如:(5,3):");
	scanf("%d,%d", &G.vexnum, &G.arcnum);

	//構造頂點向量
	printf("輸入%d個頂點（以空格隔開如：v1 v2 v3）:", G.vexnum);
	getchar();//吃掉換行符
	for(int m = 0; m < G.vexnum; m++){
		scanf("v%d", &G.vexs[m]);
		getchar();//吃掉空格符
	}

	
	//初始化鄰接矩陣
	int i=0, j=0;
	for(i = 0; i < G.vexnum; i++){
		for(j = 0; j < G.vexnum; j++)
			G.arcs[i][j] = INFINITY;
	}

	//構造鄰接矩陣
	VertexType v1, v2;//分別是一條弧的弧尾和弧頭（起點和終點）
	VRType w;//對於無權圖或網，用0或1表示相鄰否；對於帶權圖或網，則爲相應權值	
	printf("\n每行輸入一條弧依附的頂點（先弧尾後弧頭）和權值（如：v1 v2 3）:\n");
	fflush(stdin);//清除殘餘後，後面再讀入時不會出錯
	for(int k = 0; k < G.arcnum; k++){
		scanf("v%d v%d %d",&v1, &v2, &w);
		fflush(stdin);//清除殘餘後，後面再讀入時不會出錯
		i = locateVex(G, v1);
		j = locateVex(G, v2);
		G.arcs[i][j] = w;

		//又因爲是無向網，所以鄰接矩陣相對於對角線對稱，所以還得對另外半邊三角陣賦值！！！！！！！！！！重要
		G.arcs[j][i] = w;//重要！！！
	}
}

 

3.3Prim算法實現

 

 

int minimun(MGraph G, closedge close){
	int min = INFINITY;
	int min_i = -1;
	for(int i = 0; i < G.vexnum; i++){
		if(close[i].lowcost>0 && close[i].lowcost < min){
			min = close[i].lowcost;
			min_i = i;
		}
	}
	return min_i;//返回具有最小代價的邊（u->vi）的vi的下標，即頂點vi的在圖中的位置
}


//用prim算法從第u個頂點出發構造網G的最小生成樹T，輸出T的各個邊，O（n^2）
void miniSpanTreePRIM(MGraph G, VertexType u){
	int k = locateVex(G, u);//找到頂點u在圖中的位置
	//初始化輔助數組
	for(int i = 0; i < G.vexnum; i++){
		if(i != k){
			close[i].adjvex = k;
			close[i].lowcost = G.arcs[k][i];
		}
	}
	close[k].lowcost = 0;//初始時，U={u}

	for(i = 1; i < G.vexnum; i++){//選擇其餘的G.vexnum-1個頂點，每次選出一個，共需要選G.vexnum-1次
		k = minimun(G, close);//求出T的下一個結點：第k頂點
		printf("v%dv%d\n",G.vexs[close[k].adjvex], G.vexs[k]);//輸出生成樹的邊(邊起始點,邊終點)
		close[k].lowcost = 0;//將第k頂點併入U集
		for(int j = 0; j < G.vexnum; j++){//由於U集有新頂點vk的併入，導致V-U裏的各個頂點的lowcost的變化需要更新
			if(G.arcs[k][j] < close[j].lowcost){
				close[j].adjvex = k;
				close[j].lowcost = G.arcs[k][j];//重新選擇最小代價邊
			}
		}
	}
	printf("\n");
}

 

3.4.演示

 

 

/*測試：
6,10
v1 v2 v3 v4 v5 v6

v1,v2,6
v1,v3,1
v1,v4,5

v2,v3,5
v2,v5,3

v3,v4,5
v3,v5,6
v3,v6,4

v4,v6,2

v5,v6,6
*/
void main(){
	MGraph G;
	createUDN(G);	
	//printUDN(G);


	VertexType u;
	printf("請輸入構造最小生成樹的出發點：");
	scanf("v%d", &u);
	fflush(stdin);//清除殘餘後，後面再讀入時不會出錯
	miniSpanTreePRIM(G, u);

}