DTOJ 4705. 遞增

題意

已知 $l_{1\dots n}$ 和 $r_{1\dots n}$，求所有滿足以下條件的序列 $\{a_n\}$ 的元素和的和：對任意 $i\in[1,n]$ 滿足 $l_i\le a_i\le r_i$​​，且 $\{a_n\}$ 是非嚴格遞增的。

子任務一 ($30$pts)，$2\le n\le 6, 0\le l_i\le r_i< 10$.

子任務二 ($30$pts)，$2\le n\le 50, 0\le l_i\le r_i<50$.

子任務三 ($40$pts)，$2\le n\le 50, 0\le l_i\le r_i< 2^{60}$.

題解

我是弱智啊完全不會數數，自閉了。
前面的DP還是比較顯然的：把區間離散化一下可以設$f[i][j]$爲前$i$個區間取了$j$個數的所有方案的和，再記一個$g[i][j]$表示方案數輔助轉移，轉移時考慮第$i+1$個區間放幾個數，枚舉符合條件的$k$，使得$j+1,...,k$都在區間$i+1$上，問題在於$n$個數選$m$個數，可重複無標號的方案數以及所有方案的和。
方案數考慮把每兩個相鄰的數的差分加$1$，顯然是$C(n+m-1,m)$。對於所有方案的和，我考場上直接考慮每個位置每個數的貢獻，就自閉了，因爲有兩個組合數乘在一起根本化不開。
此時不應該往復雜方向走（雖然好像可以插值？然而不會），感性認知一下：既然知道方案數了，如果知道平均數就好了，看起來好像就是這$m$個數的平均數？發現對於一種方案的每個$a_i$，把它變成$n+1-a_i$，再把序列翻轉一下也是合法的，且兩個方案是彼此唯一對應的。而這兩個方案加起來是$(n+1)*m$，所以$(n+1)/2$就是平均數了！組合數因爲$m$很小可以暴算，總複雜度$O(n^{4})$。（注意取模和long long的問題！）