DTOJ 4746. 我家鑰匙放在哪了

題意

張士超是你在上海音樂學院的基友，關係非常好。你們在五角場附件合租了一間屋子。由於你那麼有錢，一下買了 $n$ 把相同的鎖，並一下配了 $N$ 把相同的鑰匙。你用這些鎖並聯鎖住你家的大門，需要同時插入 $n$ 把鑰匙才能打開。

一天晚上，張士超帶着華師大的姑娘去了閔行。而且還把你們的 $N$ 把鑰匙全部藏在了一些奇怪的地方。

張士超有 $M$ 個可能的地方來藏鑰匙，比如地毯，花園，或門口大爺。每處藏匿位置至多可容納 $a_i$ 把鑰匙，並且有 $p_i$ 的獨立概率被你找到。當然如果一個位置被你找到了，你就會拿到這裏的所有鑰匙。你必須至少拿到其中 $n$ 把鑰匙才能回家。

假設張士超按所有合法方案中的任何一種方案放鑰匙的概率相同。現在你希望算出你可以找到鑰匙順利回家的概率，如果這個概率太小，就乾脆打車跑到閔行去把張士超痛扁一頓。

張士超在閔行樂不思蜀，你卻在五角場無家可歸。你必須在2s內算出答案，否則就會在寒風凜冽的國定路被凍死。

對 $998244353$ 取模。爲避免除法可能出現的問題，請輸出答案乘上合法方案總數的積，即放鑰匙的所有方案中能回家的概率之和。合法方案即一個數組 $0 \le b_i \le a_i$ 滿足 $0 \leq b_{i} \leq a_{i}, \sum_{i} b_{i}=N$

所有測試數據滿足 $1 \leq M \leq 100,1 \leq n \leq N \leq \sum a_{i}, 1 \leq N, a_{i} \leq 10^{9}, 1 \leq d \leq 10^{7}, 0 \leq p_{i}<998244353，N \leq 100 d, d |\left(a_{i}+1\right)$，但並不保證 $d | N$ 或 $d | n$

Other Constraints	$M,N$	$Points$
$a_i \le 10$	$M \le 6$	10
$n=1$ 或 $n=N$	$N \le 100$	5
$n=1$ 或 $n=N$		15
$p_{i} \in\{0,1\}$	$N \le 100$	5
$p_{i} \in\{0,1\}$		15
No More Constraints	$N \le 100$	30
No More Constraints		20

題解

注意到$N\le100d$，考慮每個位置先選若干個$d$，最後把剩下的分給每個位置，要求每個位置少於$d$。考慮$n$的限制，如果概率都是$0$或$1$，即在$p=1$位置要放的數總和不少於$n$；考慮把每一種可能性以概率的積的形式記在DP中，先DP出總共放了$i$個$d$，在選的位置放了$j$個$d$，選了$k$個位置的概率總和。

剩下的問題在於把$x$個數放到$M$個位置，每個位置小於$d$，前$k$個位置放不少於$y$個。考慮後者，由於$M$較小，考慮枚舉第$y$個數在哪個位置，再乘上組合數即可。對於前者，在DP的時候直接容斥，即當前的位置若選了不少於$d$個就$*-1$。這樣就做完了，效率爲$O(n^{4})$。