Bezier曲線原理及實現代碼（c++）
一、原理：
貝塞爾曲線於1962年，由法國工程師皮埃爾·貝塞爾（Pierre Bézier）所廣泛發表，他運用貝塞爾曲線來爲汽車的主體進行設計。貝塞爾曲線最初由 Paul de Casteljau 於1959年運用 de Casteljau 算法開發，以穩定數值的方法求出貝塞爾曲線。
線性貝塞爾曲線
給定點 P0、P1，線性貝塞爾曲線只是一條兩點之間的直線。這條線由下式給出：
![mathbf{B}(t)=mathbf{P}_0 + (mathbf{P}_1-mathbf{P}_0)t=(1-t)mathbf{P}_0 + tmathbf{P}_1 mbox{ , } t in [0,1]](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/http://devres.zoomquiet.io/data/20110728232822/05c4210c69ffb1358ceb8eb83a1a06fe.png "Bezier曲線原理及實現代碼（c++） - mappy - mappy 天下")
且其等同於線性插值。
二次方貝塞爾曲線的路徑由給定點 P0、P1、P2 的函數 B(t) 追蹤：
![mathbf{B}(t) = (1 - t)^{2}mathbf{P}_0 + 2t(1 - t)mathbf{P}_1 + t^{2}mathbf{P}_2 mbox{ , } t in [0,1]](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/http://devres.zoomquiet.io/data/20110728232822/8adc5cc34ea9649d6e546043fce9c407.png)
。TrueType 字型就運用了以貝塞爾樣條組成的二次貝塞爾曲線。
![mathbf{B}(t)=mathbf{P}_0(1-t)^3+3mathbf{P}_1t(1-t)^2+3mathbf{P}_2t^2(1-t)+mathbf{P}_3t^3 mbox{ , } t in [0,1]]()
。
![mathbf{B}(t)=mathbf{P}_0(1-t)^3+3mathbf{P}_1t(1-t)^2+3mathbf{P}_2t^2(1-t)+mathbf{P}_3t^3 mbox{ , } t in [0,1]](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/http://devres.zoomquiet.io/data/20110728232822/597ecc5022fa7ab65509d5edfa9c148c.png)
現代的成象系統，如 PostScript、Asymptote 和 Metafont，運用了以貝塞爾樣條組成的三次貝塞爾曲線，用來描繪曲線輪廓。
一般化
P0、P1、…、Pn，其貝塞爾曲線即
![mathbf{B}(t)=sum_{i=0}^n {nchoose i}mathbf{P}_i(1-t)^{n-i}t^i =mathbf{P}_0(1-t)^n+{nchoose 1}mathbf{P}_1(1-t)^{n-1}t+cdots+mathbf{P}_nt^n mbox{ , } t in [0,1]]()
。
![mathbf{B}(t)=sum_{i=0}^n {nchoose i}mathbf{P}_i(1-t)^{n-i}t^i =mathbf{P}_0(1-t)^n+{nchoose 1}mathbf{P}_1(1-t)^{n-1}t+cdots+mathbf{P}_nt^n mbox{ , } t in [0,1]](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/http://devres.zoomquiet.io/data/20110728232822/5cdbbad5d4698c786a3f02a1b9fb5f2d.png)
。例如 ：
![mathbf{B}(t)=mathbf{P}_0(1-t)^5+5mathbf{P}_1t(1-t)^4+10mathbf{P}_2t^2(1-t)^3+10mathbf{P}_3t^3(1-t)^2+5mathbf{P}_4t^4(1-t)+mathbf{P}_5t^5 mbox{ , } t in [0,1]]()
。
![mathbf{B}(t)=mathbf{P}_0(1-t)^5+5mathbf{P}_1t(1-t)^4+10mathbf{P}_2t^2(1-t)^3+10mathbf{P}_3t^3(1-t)^2+5mathbf{P}_4t^4(1-t)+mathbf{P}_5t^5 mbox{ , } t in [0,1]](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/http://devres.zoomquiet.io/data/20110728232822/db41ef611ab1eedb0606d9bce9012c30.png)
。如上公式可如下遞歸表達： 用 
表示由點 P0、P1、…、Pn 所決定的貝塞爾曲線。則
用平常話來說， 階貝塞爾曲線之間的插值。
![mathbf{B}(t) = sum_{i=0}^n mathbf{P}_imathbf{b}_{i,n}(t),quad tin[0,1]](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/http://devres.zoomquiet.io/data/20110728232822/3d8f42d9608ecbd44e2f57758d159eb2.png)
點 Pi 稱作貝塞爾曲線的控制點。多邊形以帶有線的貝塞爾點連接而成，起始於 P0 並以 Pn 終止，稱作貝塞爾多邊形（或控制多邊形）。貝塞爾多邊形的凸包（convex hull）包含有貝塞爾曲線。
![線性貝塞爾曲線演示動畫，t in [0,1]](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Bezier_1_big.gif "Bezier曲線原理及實現代碼（c++） - mappy - mappy 天下")
爲建構二次貝塞爾曲線，可以中介點 Q0 和 Q1 作爲由 0 至 1 的 t：
- 由 P0 至 P1 的連續點 Q0，描述一條線性貝塞爾曲線。
- 由 P1 至 P2 的連續點 Q1，描述一條線性貝塞爾曲線。
- 由 Q0 至 Q1 的連續點 B(t)，描述一條二次貝塞爾曲線。
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![二次貝塞爾曲線演示動畫，t in [0,1]](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Bezier_2_big.gif "Bezier曲線原理及實現代碼（c++） - mappy - mappy 天下") |
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爲建構高階曲線，便需要相應更多的中介點。對於三次曲線，可由線性貝塞爾曲線描述的中介點 Q0、Q1、Q2，和由二次曲線描述的點 R0、R1 所建構：
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![三次貝塞爾曲線演示動畫，t in [0,1]](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Bezier_3_big.gif "Bezier曲線原理及實現代碼（c++） - mappy - mappy 天下") |
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對於四次曲線，可由線性貝塞爾曲線描述的中介點 Q0、Q1、Q2、Q3，由二次貝塞爾曲線描述的點 R0、R1、R2，和由三次貝塞爾曲線描述的點 S0、S1 所建構：
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![四次貝塞爾曲線演示動畫，t in [0,1]](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Bezier_4_big.gif "Bezier曲線原理及實現代碼（c++） - mappy - mappy 天下") |
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P(t)=(1-t)P0+tP1 , 
。
矩陣表示爲：
，
。
P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2, 。
矩陣表示爲：
， 。
P(t)=(1-t)3P0+3t(1-t)2P1+3t2(1-t)P2+t3P3
矩陣表示爲：
， 。
（6－3－2） 
， 。
在（6－3－2）式中，Mn+1是一個n＋1階矩陣，稱爲n次Bezier矩陣。
（6－3－3）
。
其中，
利用（6－3－3）式，我們可以得到任意次Bezier矩陣的顯式表示，例如4次和5次Bezier矩陣爲：
，
可以證明，n次Bezier矩陣還可以表示爲遞推的形式： （6－3－4）
二、算法（c++）
工程目錄是:Win32App
vc6.0
#include<windows.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#define NUM 10
LRESULT CALLBACK Winproc(HWND,UINT,WPARAM,LPARAM);
int WINAPI WinMain(HINSTANCE hInstance,HINSTANCE hPrevInstanc,LPSTR lpCmdLine,int nShowCmd)
{
MSG msg;
static TCHAR szClassName[] = TEXT("::Bezier樣條計算公式由法國雷諾汽車公司的工程師Pierm Bezier於六十年代提出");
HWND hwnd;
WNDCLASS wc;
wc.cbClsExtra =0;
wc.cbWndExtra =0;
wc.hbrBackground = (HBRUSH)GetStockObject(WHITE_BRUSH);
wc.hCursor = LoadCursor(NULL,IDC_ARROW);
wc.hIcon = LoadIcon(NULL,IDI_APPLICATION);
wc.hInstance = hInstance;
wc.lpfnWndProc = Winproc;
wc.lpszClassName = szClassName;
wc.lpszMenuName = NULL;
wc.style = CS_HREDRAW|CS_VREDRAW;
if(!RegisterClass(&wc))
{
MessageBox(NULL,TEXT("註冊失敗"),TEXT("警告框"),MB_ICONERROR);
return 0;
}
hwnd = CreateWindow(szClassName,szClassName,
WS_OVERLAPPEDWINDOW,
CW_USEDEFAULT,CW_USEDEFAULT,
CW_USEDEFAULT,CW_USEDEFAULT,
NULL,NULL,hInstance,NULL);
ShowWindow(hwnd,SW_SHOWMAXIMIZED);
UpdateWindow(hwnd);
while(GetMessage(&msg,NULL,0,0))
{
TranslateMessage(&msg);
DispatchMessage(&msg);
}
return msg.wParam;
}
LRESULT CALLBACK Winproc(HWND hwnd,UINT message, WPARAM wparam,LPARAM lparam)
{
HDC hdc;
static POINT pt[NUM];
TEXTMETRIC tm;
static int cxClient,cyClient;
HPEN hpen;
int i,j,k,n,t;
switch(message)
{
case WM_CREATE:
static int cxchar;
hdc = GetDC(hwnd);
GetTextMetrics(hdc,&tm);
cxchar = tm.tmAveCharWidth;
ReleaseDC(hwnd,hdc);
case WM_SIZE:
cxClient = LOWORD(lparam);
cyClient = HIWORD(lparam);
return 0;
case WM_PAINT:
hdc = GetDC(hwnd);
srand(time(0));
Rectangle(hdc,0,0,cxClient,cyClient);
for(i=0; i<500; i++)
{
SelectObject(hdc,GetStockObject(WHITE_PEN));
PolyBezier(hdc,pt,NUM);
for(j=0; j<NUM; j++)
{
pt[j].x = rand()%cxClient;
pt[j].y = rand()%cyClient;
}
hpen = CreatePen(PS_INSIDEFRAME,3,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%256));
DeleteObject(SelectObject(hdc,hpen));
PolyBezier(hdc,pt,NUM);
for(k=0; k<50000000;k++);
}
for(i=0; i<100;i++)
{
Ellipse(hdc,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient);
Pie(hdc,j=rand()%cxClient,k=rand()%cyClient,n=rand()%cxClient,t=rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient) ;
}
if((n=(n+j)/2)>cxchar*20) n=cxchar*20;
SetTextColor(hdc,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%256));
TextOut(hdc,n/2,(t+k)/2,TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!"),lstrlen(TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!")));
ReleaseDC(hwnd,hdc);
DeleteObject(hpen);
ValidateRect(hwnd,NULL);
return 0;
case WM_DESTROY:
PostQuitMessage(0);
return 0;
}
return DefWindowProc(hwnd,message,wparam,lparam);
}