原問來自：http://www.cnblogs.com/EricYang/archive/2009/09/04/1560478.html
繼續筆試準備ing……分享一下昨天做到的其中一題，其實題目很老，也做過n遍了，但複習起來也是頗有韻味，同時還發現另一種妙解，感覺不錯的。
問題描述：約瑟夫環問題(Josephus)
用戶輸入M,N值，從1至N開始順序循環數數，每數到M輸出該數值，直至全部輸出。寫出C程序。（約瑟夫環問題 Josephus）
解法一(My Solution)：
思想：建立一個有N個元素的循環鏈表，然後從鏈表頭開始遍歷並記數，如果計數i==m(i初始爲1)踢出元素，繼續循環，噹噹前元素與下一元素相同時退出循環。
代碼：
2 約瑟夫環問題(Josephus)
3 用戶輸入M,N值，從1至N開始順序循環數數，每數到M輸出該數值，直至全部輸出。寫出C程序。（約瑟夫環問題 Josephus）
4 Code By Eric Yang 2009
5 http://ericyang.cnblogs.com
6 */
7 #include <stdio.h>
8 #include <stdlib.h>
9
10 // 鏈表節點
11 typedef struct _RingNode
12 {
13 int pos; // 位置
14 struct _RingNode *next;
15 }RingNode, *RingNodePtr;
16
17 // 創建約瑟夫環，pHead:鏈表頭指針，count:鏈表元素個數
18 void CreateRing(RingNodePtr pHead, int count)
19 {
20 RingNodePtr pCurr = NULL, pPrev = NULL;
21 int i = 1;
22 pPrev = pHead;
23 while(--count > 0)
24 {
25 pCurr = (RingNodePtr)malloc(sizeof(RingNode));
26 i++;
27 pCurr->pos = i;
28 pPrev->next = pCurr;
29 pPrev = pCurr;
30 }
31 pCurr->next = pHead; // 構成環狀鏈表
32 }
33
34 void PrintRing(RingNodePtr pHead)
35 {
36 RingNodePtr pCurr;
37 printf("%d", pHead->pos);
38 pCurr = pHead->next;
39 while(pCurr != NULL)
40 {
41 if(pCurr->pos == 1)
42 break;
43 printf("\n%d", pCurr->pos);
44 pCurr = pCurr->next;
45 }
46 }
47
48 void KickFromRing(RingNodePtr pHead, int m)
49 {
50 RingNodePtr pCurr, pPrev;
51 int i = 1; // 計數
52 pCurr = pPrev = pHead;
53 while(pCurr != NULL)
54 {
55 if (i == m)
56 {
57 // 踢出環
58 printf("\n%d", pCurr->pos); // 顯示出圈循序
59 pPrev->next = pCurr->next;
60 free(pCurr);
61 pCurr = pPrev->next;
62 i = 1;
63 }
64 pPrev = pCurr;
65 pCurr = pCurr->next;
66 if (pPrev == pCurr)
67 {
68 // 最後一個
69 printf("\n%d", pCurr->pos); // 顯示出圈循序
70 free(pCurr);
71 break;
72 }
73 i++;
74 }
75 }
76
77 int main()
78 {
79 int m = 0, n = 0;
80 RingNodePtr pHead = NULL;
81 printf("---------------Josephus Ring---------------\n");
82 printf("N(person count) = ");
83 scanf("%d", &n);
84 printf("M(out number) = ");
85 scanf("%d", &m);
86 if(n <= 0 || m <= 0)
87 {
88 printf("Input Error\n");
89 system("pause");
90 return 0;
91 }
92 // 建立鏈表
93 pHead = (RingNodePtr)malloc(sizeof(RingNode));
94 pHead->pos = 1;
95 pHead->next = NULL;
96 CreateRing(pHead, n);
97 #ifdef _DEBUG
98 PrintRing(pHead);
99 #endif
100
101 // 開始出圈
102 printf("\nKick Order: ");
103 KickFromRing(pHead, m);
104 printf("\n");
105 system("pause");
106 return 0;
107 }
108
思想：歸納爲數學性問題。原文說的很好，還是直接Copy吧，因爲搜索半天也沒有找到原作者，所以無法添加引用地址了，如果這位大哥看到這裏，請告知與我，小弟立刻加入引用鏈接:)
無論是用鏈表實現還是用數組實現都有一個共同點：要模擬整個遊戲過程，不僅程序寫起來比較煩，而且時間複雜度高達O(nm)，當n，m非常大(例如上百萬，上千萬)的時候，幾乎是沒有辦法在短時間內出結果的。我們注意到原問題僅僅是要求出最後的勝利者的序號，而不是要讀者模擬整個過程。因此如果要追求效率，就要打破常規，實施一點數學策略。
爲了討論方便，先把問題稍微改變一下，並不影響原意：
問題描述：n個人（編號0~(n-1))，從0開始報數，報到(m-1)的退出，剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。
我們知道第一個人(編號一定是m%n-1) 出列之後，剩下的n-1個人組成了一個新的約瑟夫環（以編號爲k=m%n的人開始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2並且從k開始報0。
現在我們把他們的編號做一下轉換：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
變換後就完完全全成爲了(n-1)個人報數的子問題，假如我們知道這個子問題的解：例如x是最終的勝利者，那麼根據上面這個表把這個x變回去不剛好就是n個人情況的解嗎？！！變回去的公式很簡單，相信大家都可以推出來：x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)個人報數的問題的解？對，只要知道(n-2)個人的解就行了。(n-2)個人的解呢？當然是先求(n-3)的情況 ---- 這顯然就是一個倒推問題！好了，思路出來了，下面寫遞推公式：
令f[i]表示i個人玩遊戲報m退出最後勝利者的編號，最後的結果自然是f[n]
遞推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了這個公式，我們要做的就是從1-n順序算出f[i]的數值，最後結果是f[n]。因爲實際生活中編號總是從1開始，我們輸出f[n]+1
由於是逐級遞推，不需要保存每個f[i]，程序也是異常簡單：
2 int main()
3 {
4 int n, m, i, s = 0;
5 printf ("N M = ");
6 scanf("%d%d", &n, &m);
7 for (i = 2; i <= n; i++)
8 {
9 s = (s + m) % i;
10 }
11 printf ("\nThe winner is %d\n", s+1);
12 }