動態規劃-01揹包

題目描述

給定n個重量爲$w_1,w_2,\cdots,w_n$，價值爲$v_1,v_2,\cdots,v_n$的物品和容量爲C的揹包，求這個物品中一個最有價值的子集，使得在滿足揹包的容量的前提下，包內的總價值最大。

01揹包指的是物品裝或者不裝，裝且只能裝一次。

i	1	2	3	4
w(體積)	2	3	4	5
v(價值)	3	4	5	6

分析

• 方法一：利用回溯法進行解題求滿足條件的所有子集中價值最大的即可，但是時間複雜度是$O(2^n)$。 見此博客。

• 方法二：利用二維動態規劃進行求解。

  • 狀態表示：$F(n,C)$,表示前n個物品，裝到容量c的袋子裏，得到的最大價值。
    • 不放第n個物品，此時總價值爲$F(n-1,C)$
    • 放置第n個物品，此時總價值爲$v_n+F(n-1,C-w_n)$
  • 狀態轉移公式：$F(i,C)=max(F(i−1,C),v(i)+F(i−1,C−w(i)))$
  • 邊界：
    

動態規劃自底向上二維表：

代碼

class Solution:
	def Solve01bag(self, n, C, w, v):
		# 行爲揹包容量
		# 列爲物品數
		dp = [[0 for _ in range(C+1)] for _ in range(n+1)]

		for i in range(1, n+1): #物品索引從零開始
			for j in range(1, C+1):
				dp[i][j] = dp[i-1][j]
				if j>=w[i-1]:
					dp[i][j]= max(dp[i][j], v[i-1]+dp[i-1][j-w[i-1]])


		return dp[n][C]


if __name__ == '__main__':

	test = Solution()

	res = test.Solve01bag(4, 8, [2,3,4,5], [3,4,5,6])

	print(res)
#[[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], 
# [0, 0, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3], 
# [0, 0, 3, 4, 4, 7, 7, 7, 7],
# [0, 0, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 9],
# [0, 0, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10]]
#10