其他算法-031-整数中1出现的次数（从1到n整数中1出现的次数）

题目描述

求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）。

分析

• 方法一：记录单个数字所包含1的个数，相加即可。时间复杂度>O(n),空间复杂度为O(n)。
• 方法二：归纳：
  • 从 1 至 10，在它们的个位数中，任意的 X 都出现了 1 次。
  • 从 1 至 100，在它们的十位数中，任意的 X 都出现了 10 次。
  • 从 1 至 1000，在它们的百位数中，任意的 X 都出现了 100 次。

依此类推，从 1 至 $10^{i}$，在它们的左数第二位（右数第 i位）中，任意的 X 都出现了 $10^{i-1}$次。

• 总结一下以上的算法，可以看到，当计算右数第 i 位包含的 1 的个数时：

  • 取第 i 位左边（高位）的数字，乘以 $10^{i−1}$，得到基础值 a。
  • 取第 i 位数字，计算修正值：
    • 如果大于 1，则结果为 a+ $10^{i−1}$。
    • 如果小于 1，则结果为 a。
    • 如果等于 1，则取第 i 位右边（低位）数字，设为 b，最后结果为 a+b+1。

• 时间复杂度O(n的位数)，空间复杂度O(n)。

举例说明：

接下来以 n=2593,X=5n=2593,X=5 为例来解释如何得到数学公式。从 1 至 2593 中，数字 5 总计出现了 813 次，其中有 259 次出现在个位，260 次出现在十位，294 次出现在百位，0 次出现在千位。

现在依次分析这些数据，首先是个位。从 1 至 2590 中，包含了 259 个 10，因此任意的 X 都出现了 259 次。最后剩余的三个数 2591, 2592 和 2593，因为它们最大的个位数字 3 < X，因此不会包含任何 5。

然后是十位。从 1 至 2500 中，包含了 25 个 100，因此任意的 X 都出现了 25×10=25025×10=250 次。剩下的数字是从 2501 至 2593，它们最大的十位数字 9 > X，因此会包含全部 10 个 5。最后总计 250 + 10 = 260。

接下来是百位。从 1 至 2000 中，包含了 2 个 1000，因此任意的 X 都出现了 2×100=2002×100=200 次。剩下的数字是从 2001 至 2593，它们最大的百位数字 5 == X，这时情况就略微复杂，它们的百位肯定是包含 5 的，但不会包含全部 100 个。如果把百位是 5 的数字列出来，是从 2500 至 2593，数字的个数与百位和十位数字相关，是 93+1 = 94。最后总计 200 + 94 = 294。

最后是千位。现在已经没有更高位，因此直接看最大的千位数字 2 < X，所以不会包含任何 5。到此为止，已经计算出全部数字 5 的出现次数。

代码

• 方法一：

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def NumberOf1Between1AndN_Solution(self, n):
        # write code here
        counter = 0
        for i in range(n+1):
            counter += self.has1Counter(i)
        
        return counter
    
    def has1Counter(self, number):
        counter = 0
        while number:
            if number%10==1:
                counter += 1
            number //= 10
        return counter

• 方法二：

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def NumberOf1Between1AndN_Solution(self, n):
        # write code here
        counter = 0
        for i in range(1,len(str(n))+1):
            high = n//(10**i)  # 高位数字
            low = n%(10**(i-1)) # 低位数字
            now = n//10**(i-1)%10 # 当前位
            
            if now<1:
                counter += high * 10**(i-1)
            elif now>1:
                counter += high *10**(i-1) + 10**(i-1)
            else:
                counter += high*10**(i-1) + low + 1
            
        return counter