7.1-1 参照图7-1的方法，说明PARTITION在数组A={13,9,9,5,12,8,7,4,21,2,6,11}上的操作过程。
A={13,19,9,5,12,8,7,4,21,2,6,11}
={13,19,9,5,12,8,7,4,21,2,6,11}
={13,19,9,5,12,8,7,4,21,2,6,11}
={9,19,13,5,12,8,7,4,21,2,6,11}
={9,5,13,19,12,8,7,4,21,2,6,11}
={9,5,13,19,12,8,7,4,21,2,6,11}
={9,5,8,19,12,13,7,4,21,2,6,11}
={9,5,8,7,12,13,19,4,21,2,6,11}
={9,5,8,7,4,13,19,12,21,2,6,11}
={9,5,8,7,4,13,19,12,21,2,6,11}
={9,5,8,7,4,2,19,12,21,13,6,11}
={9,5,8,7,4,2,6,12,21,13,19,11}
={9,5,8,7,4,2,6,11,21,13,19,12}
7.1-2 当数组A[p..r]中的元素都相同时，PARTITION返回的q值是什么？修改PARTITION，使得当数组A[p..r]中所有元素的值都相同时，q=(p+r)/2.
当元素相同时,q=i+1=r-1+1=r.
修改后的函数q=(p+r)/2.
- int Partition(int A[], int p, int r)
- {
- int x = A[r],i=p-1;
- int flag = 1;
- for (int j = p;j< r-1;j++)
- {
- if (x >=A[i]&&flag>0)//x=A[i]时，flag大于0和小于0的数量约为一半，
- {
- i = i + 1;
- swap(A[i],A[j]);
- }
- if (x ==A[i])
- {
- flag=-flag;//这样就能让i++次数减半。
- }
- }
- swap(A[i + 1],A[r]);
- return i + 1
- }
7.1-3请简要证明：在规模为n的子数组上，PARTITION的时间复杂度为Θ(n)
除了函数内数个O(1)，还有一个循环,其循环次数 p-(r-1)+1=p-r次，O(p-r)=O(n)
7.1-4 如何修改QUICKSORT，使得它能够以非递增序进行排序？
仅仅需要把 x >=A[i] 改为 x <=A[i]
7.2-1 利用带入法证明：正如7.2节开头提到的那样，递归式T(n)=T(n-1)+Θ(n)的解为T(n)=Θ(n^2) 令Θ(n)=cn (c常数)。
假设T(n)在n-1上成立。 先证明T(n)=Ο(n^2)
T(n)<=c1(n-1)^2+cn<=c1n^2 <=> (c-2c1)n+c1<=0 <=> c-2c1<0 (c<2c1) n>=c1/(2c1-c) 当0<c<2c1时，有n>=n0=c1/(2c1-c) 对于足够大的n都成立。
再证明T(n)=Ω(n^2) T(n)>=c2(n-1)^2+cn>=c2n^2 <=> (c-2c2)n+c2>=0 <=> c-2c2>0 (c>2c2>0) n>0 当c>2c2>0时，有n>0,对于足够大的n都成立。
所以存在常数c1>c/2,c2<c/2时，存在n0=max{c1/(2c1-c),0},使得当n>=n0时，对于足够大的n都成立，T(n)=Θ(n^2)成立
7.2-2当数组A的所有元素都具有相同值时，QUICKSORT的时间复杂度是什么？
当数组A所有元素相同时，QUICKSORT中的划分时极为不平衡的,n-1:0的划分,T(n)=T(n-1)+Θ(n)解这个递归式T(n)=Θ(n^2)
7.2-3 证明：当数组A包含的元素不同，并且是按降序排列的时候，QUICKSORT的时间复杂度为Θ(n^2)
按照降序排序时，在QUICKSORT中的划分时极为不平衡的,n-1:0的划分，所以其时间复杂度为T(n)=T(n-1)+Θ(n)解这个递归式 T(n)=T(n)=Θ(n^2)
7.2-4 银行一半会按照交易时间来记录某一账户的交易情况。但是，很多人却喜欢收到银行对账单是按照支票号码的顺序来排列的。这是因为，人们通常 都是按照支票号码的顺序来开出支票的，而商人也通常都是根据支票编号的顺序兑付支票。这一问题时按照交易时间排序的序列转换成按支票号排序的 序列，它是指上是一个对几乎有序的输入序列进行排序的问题。请证明：在这个问题上，INSERTION-SORT的性能往往要优于QUICKSORT？
插入排序在基本有序的情况下，基本无需移动任何元素来插入，所以只有外层循环了n次，所以时间复杂度为O(n)
快速排序在基本有序的情况下，在划分数组时，划分得非常不平衡，那么其时间复杂度是O(nlgn),而达到完全有序时，时间 复杂度达到O(n^2)，</p><p>所以总之插入排序要优于快速排序。
7.2-5 假设快速排序的每一层所做的划分的比例都是1-a:a，其中0<a<=1/2且是一个常数。是证明，在相应的递归树中，叶结点的最小深度大约是 -lgn/lga,最大深度大约是-lgn/lg(1-a)(无需考虑整数舍入问题)
0<=a<=1/2 => a<1-a 只有T(1)时，到达树底，设树高度为k,所以就有 最小深度(a^k)n=1=>k=-lgn/lga 最大深度(1-a)^kn=1 => k=-lgn/lg(1-a)
7.2-6试证明：在一个随机输入数组上，对于任何常数0<a<=1/2，PARTITION产生比1-a:a更平衡的划分的概率约为1-2a
设随机数组有n个数，则有A0,A1...Aan...A(1-a)n...An。</p><p>设X个数被划分在左半部分，Y个数被划分在右半部分。
则X+Y=n 那么根据书上根据平衡的定义，X-Y差值越大，比例就越高，那么越不平衡，只有X-Y差值越小，越接近0，X约等于Y的时候 越平衡。
分三种情况讨论：1）当X<a时，那么Y>1-a, |X-Y|>1-2a>0
2）当X>1-a时，那么Y<a, |X-Y|>1-2a>0
3）当a<X<1-a时，那么a<Y<1-a,0<|X-Y|<1-2a
只有当|X-Y|距离小于一个数时，才可能X-Y差值趋向于0,划分的就越平衡。所以我们选择情况3的这种划分。 在an与(1-a)n之间取X的值，因为划分X落在区间[0,n]上是等可能性的，所以符合均匀分布，落在[an,(1-a)n}]上的任意一点 的概率也是等可能的，所以P{an≤x≤(1-a)n}=((1-a)n-an)/(n-0)=1-2a。得证！
7.3-1 为什么我们分析随机化算法的期望运行时间，而不是其最坏运行时间呢？
随机化算法不能改变最坏情况下得运行时间，但是能降低最坏情况发生的概率。
7.3-2在RANDOMIZED-QUICKSORT的运行过程中，在最坏情况下，随机数生成器RANDOM被调用了多少次？在最好情况下呢？
最好情况是均匀划分，其时间复杂度 T(n)=2T(n/2)+1 =>主定理case1得T(n)=Θ(n)
最坏情况是分成不平衡的划分，其时间复杂度 T(n)=T(n-1)+T(0)+1 各式相加得=>T(n)=Θ(n)
7.4-2 证明：在最好的情况下，快速排序的运行时间为Ω(nlgn)
最好情况就是均分的情况下，T(n)=2T(n/2)+Θ(n) 满足主定理case2=>T(n)=Θ(nlgn)=Ω(nlgn)
7.4-4 证明：RANDOMIZED-QUICKSORT期望运行时间是Ω(nlgn).
根据书中7.4.2知：随机化快速排序和普通快速排序就是主元选择上有所不同，其他都相同。所以我们可以用分析普通快排的方法分析随机快排，普通快排最好的情况是均分，其时间复杂度Ω(nlgn).，那么快速排序的时间复杂度至少最好情况下的Ω(nlgn)。所以随机化快排也是Ω(nlgn)。
7.4-5 当输入数据已经“集合有序”时，插入排序速度很快。在实际应用中，我们可以利用这一特点来提高快速排序的速度。当对一个长度小于k的子数组
调用快速排序时，让它不做任何排序就返回。当上层的快速排序调用返回后，对整个数组运行插入排序来完成排序过程。试证明，这一排序算法的期望
时间复杂度为O(nk+nlg(n/k)).分别从理论和实践的角度说明我们应该如何选择k?
7.4-5的具体程序实现如下：
- #include <iostream>
- using namespace std;
- int PARTITION(int A[],int p,int r)
- {
- int x=A[r];
- int i=p-1;
- for (int j=p;j<=r-1;j++)//O(n)这里应该包含第r-1个元素在循环里
- {
- if (A[j]<=x)
- {
- i++;
- swap(A[i],A[j]);
- }
- }
- swap(A[i+1],A[r]);
- return i+1;
- }
- void QUICKSORT(int A[],int p,int r,int k)
- {
- if (p<r&&r-p>=k)//T(n)=2
- {
- int q=PARTITION(A,p,r);
- QUICKSORT(A,p,q-1,k);
- QUICKSORT(A,q+1,r,k);
- }
- }
- void INSERTION_SORT(int A[],int r)
- {
- int key;
- for (int j=1;j<=r;j++)
- {
- key=A[j-1];
- int i=j-1;
- while (i>0&&A[i-1]<key)//a)插入排序时间复杂度O(n^2)对于长度为k的子列表都有O(k^2),则n/k个为(k^2)*n/k=O(nk)
- {
- A[i]=A[i-1];
- i=i-1;
- }
- A[i]=key;
- }
- }
- void main()
- {
- int A[16]={1,5,10,8,9,4,6,2,7,3,14,20,35,48,25,34};
- QUICKSORT(A,0,15,4);//K=3
- for (int i=0;i<16;i++)
- {
- cout<<A[i]<<" ";
- }
- cout<<endl;
- INSERTION_SORT(A,16);
- for ( i=0;i<16;i++)
- {
- cout<<A[i]<<" ";
- }
- }
7.4-6 考虑对PARTITION过程做这样的修改，从数组A中随机选出三个元素，并用这三个元素的中位数(既这三个元素按大小排在中间的值)对数组进行
划分。求以a的函数形式表示的，最坏划分比例为a:(1-a)的近似概率，其中 0<a<1.
题目上说最坏划分比例是a:(1-a)，那么由书中分析知 最坏划分比例是0:(n-1)或是(n-1):0 这才是最坏划分比例，所以
据我分析，题意应该是比a:(1-a)更坏的划分比例。还有就是因为是随机选取的3个元素并从中取中位数，那么从0到n-1上的每个
元素都可以做主元，所以取出的中位数是等可能的，符合均匀分布条件。
设x为数组前半部分的元素个数，y为数组后半部分的元素个数。
当1<a<1/2时，a<1-a p(x<a)+p(x>1-a)+p(a<x<a-1)=1看7.2-6题已经给出答案。 x<a或者x>1-a时，划分情况比a:(1-a)更坏，
更糟糕的概率是p(x<a∪x>1-a)=p(x<a)+p(x>1-a)=1-p(a<x<1-a)=1-(1-2a)=2a
同上可知，当1/2<a<1时，a>1-a p(x>a)+p(x<1-a)+p(a<x<1-a)=1 ,x>a或者x<1-a时，划分情况比a:(1-a)更坏，更糟糕的概率
是p(x<1-a∪x>a)=p(x>a)+p(x<1-a)=1-p(a<x<1-a)=1-(2a-1)=2-2a