AVL樹學習

1.什麼是AVL樹

          AVL樹是帶有平衡條件的二叉查找樹，是其每個結點的左子樹和右子樹的高度差最多差1的二叉查找樹。如圖1，左邊的樹是AVL樹，但右邊的不是。

圖1 左邊的是AVL樹，右邊的不是

2.AVL樹的基本操作

         當向一棵AVL樹中插入一個結點時，可能破壞AVL樹的特性（例如，將6插入圖1的AVL樹中將會破壞項爲8的結點平衡條件）。因此，我們需要對樹進行簡單的修正來恢復AVL樹的平衡，這種修正操作叫做旋轉（rotation）。在插入以後，只有那些從插入點到根節點的路徑上的結點的平衡可能被破壞，因爲只有這些結點的子樹可能發生變化，在這條路徑上可以發現一個結點，它的新平衡破壞了AVL條件，可以證明，恢復這個結點的平衡就可以保證整個樹的AVL性質。

         我們把必須平衡的結點叫做a。則AVl樹的不平衡可能是由以下四種情形造成的：

         （1）對a的左兒子的左子樹進行一次插入

         （2）對a的左兒子的右子樹進行一次插入

         （3）對a的右兒子的左子樹進行一次插入

         （4）對a的右兒子的右子樹進行一次插入

         對於（1）和（4），可以通過單旋轉完成AVL樹的修正，對於（2）和（3），可以通過雙旋轉來完成AVL樹的修正。以下詳細介紹單旋轉和雙旋轉。

1.1單旋轉

         圖2顯示了向右單旋轉如何調整情形（1），其中k2表示插入後不平衡結點a。

圖2 向右單旋轉修正情形（1）

          圖3顯示了在將6插入左邊原始的AVL樹後結點8便不再平衡，於是，我們在7和8之間做一次單旋轉，結果得到右邊的樹。

圖3 插入6破壞了AVL性質，而後經過單旋轉又將AVL性質恢復

           圖4說明了向左單旋轉如何調整情形（4），與情形（1）對稱。

圖4 向左單旋轉修正情形（4）

         圖5中，左邊的圖是在原來的AVL樹中加入結點7，結點5不再平衡，破壞了AVL特性。右邊的圖是經過單旋轉修正之後的樹。

圖5 插入7破壞了AVL性質，而後經過單旋轉又將AVL性質恢復

1.2雙旋轉

         圖6說明了如何通過左-右雙旋轉修正情形（2），先將以k1爲根的子樹向左單旋轉，再將已k3爲根的子樹向右單旋轉，可以得到右邊的樹。

圖6 通過左-右雙旋轉修正情形（2）

         圖7說明了如何通過右-左雙旋轉修正情形（4），先將以k3爲根的子樹向右單旋轉，再將已k1爲根的子樹向左單旋轉，可以得到右邊的樹。

圖7 通過右-左雙旋轉修正情形（4）

          圖8中，左邊的圖中，在原來的AVL樹中加入結點14，結點6失去平衡，屬於情形（4），右邊的圖式經過右-左雙旋轉修正之後的樹。

圖8 插入結點14，經過右-左雙旋轉之後的樹

3.代碼實現

           AVL樹定義如下：

typedef int ElemType;

struct AvlNode
{
	ElemType elem;
	struct AvlNode *left;
	struct AvlNode *right;
	int height;   //樹節點高度
};

typedef struct AvlNode * AvlTree;//AvlTree

            AVL樹中插入操作如下：

AvlTree insert(AvlTree tree, ElemType value)
{
	if(!tree)//添加新結點
	{
		tree = (AvlTree)malloc(sizeof(AvlNode));
		if(!tree)
			exit(EXIT_FAILURE);
		tree->elem = value;
		tree->left = tree->right = NULL;
		tree->height = 0;
	}
	else if(value < tree->elem)//在左子樹中添加元素
	{
		tree->left = insert(tree->left, value);//遞歸插入，類似於二叉查找樹
		if(getHeight(tree->left) - getHeight(tree->right) == 2)//失去平衡
			if(value < tree->left->elem)		//情形（1），向右單旋轉
				tree = singleRotateWithLeft(tree);
			else					//情形（2），右-左雙旋轉
				tree = doubleRotateWithLeft(tree);
	}
	else if(value > tree->elem)//在右子樹中添加元素
	{
		tree->right = insert(tree->right, value);
		if(getHeight(tree->right) - getHeight(tree->left) == 2)//失去平衡
			if(value > tree->right->elem)		//情形（4），向左單旋轉
				tree = singleRotateWithRight(tree);
			else					//情形（3），左-右雙旋轉
				tree = doubleRotateWithRight(tree);
	}
	else//數據元素重複，什麼也不做
		;
	tree->height = max(getHeight(tree->left), getHeight(tree->right)) + 1;
	return tree;
}

        向右單旋轉代碼如下：

AvlTree singleRotateWithLeft(AvlTree k2)
{
	AvlTree k1;

	k1 = k2->left;
	k2->left = k1->right;
	k1->right = k2;

	k2->height = max(getHeight(k2->left), getHeight(k2->right)) + 1;
	k1->height = max(getHeight(k1->left), k2->height) + 1;

	return k1;
}

         向左單旋轉代碼如下：

AvlTree singleRotateWithRight(AvlTree k1)
{
	AvlTree k2;

	k2 = k1->right;
	k1->right = k2->left;
	k2->left = k1;

	k1->height = max(getHeight(k1->left), getHeight(k1->right)) + 1;
	k2->height = max(k1->height, getHeight(k2->right)) + 1;
	return k2;
}

          左-右雙旋轉代碼如下：

AvlTree doubleRotateWithLeft(AvlTree k3)
{
	singleRotateWithRight(k3->left);
	return singleRotateWithLeft(k3);
}

          右-左雙旋轉代碼如下：

AvlTree doubleRotateWithLeft(AvlTree k1)
{
	singleRotateWithLeft(k1->right);
	return singleRotateWithRight(k1);
}