樹--《大話數據結構》

一、樹的定義

樹是由n（n>=1）個有限結點組成一個具有層次關係的集合，根朝上，葉朝下。

樹具有以下的特點：
① 每個結點有零個或多個子結點；沒有父結點的結點稱爲根結點；
② 每一個非根結點有且只有一個父結點；
③ 除了根結點外，每個子結點可以分爲多個不相交的子樹。

注意：
① n > 0時根結點是唯一的，不可能存在多個根節點；
② 由子結點構成的子樹個數沒有限制，但它們一定是互不相交的。

二、樹的相關概念

1. 空樹： 樹結點的個數（n≥0），當n=0時，稱爲空樹；
2. 結點間的關係：
   ① 結點的子樹的根稱爲該結點的孩子（Child），相應地，該結點稱爲孩子的雙親（Parent）；
   ② 同一個雙親的孩子之間互稱兄弟；
   ③ 結點的祖先是從根到該結點所經分支上的所有結點；
   ④ 反之，以某結點爲根的子樹中的任一結點都稱爲該結點的子孫。
   
3. 結點的分類：
   ① 結點的度（Degree）： 結點擁有的子樹數；
   ② 樹的度： 樹內各結點的度的最大值；
   ③ 葉結點： 度爲0的結點，也稱爲終端結點，無孩子，在樹中可以存在多個；
   ④ 分支結點： 度不爲0的結點，也稱爲非終端結點；
   ⑤ 內部結點： 樹中除根結點之外的分支結點，一個雙親多個孩子；
   
4. ① 結點的層次： 由結點位置，從根開始定義，根爲第一層，往下遞增（同層的結點互爲堂兄弟）；
   ② 樹的深度（Depth）： 樹中結點的最大層次，也稱爲高度。
   

三、樹的存儲結構

• 雙親表示法：
  每個結點分別由一個數據域和一個指針域構成。數據域存儲結點的數據信息，指針域儲存雙親的地址。
  注意： 因爲根結點沒有雙親，故約定其指針域爲NULL。

• 孩子表示法：
  每個結點分別由一個數據域和多個指針域構成。指針域指向每一棵子樹的根結點。也稱爲多重鏈表表示法。
  注意： 因爲不同結點的孩子個數可能有差異，故需要設計方案解決：
  ① 按樹的度，也就是樹中各個結點度的最大值，指定指針域的個數；（浪費內存）
  ② 每個結點指針域的個數等於該結點的度。增添一個專門位置，存儲結點指針域的個數；（維護麻煩）
  ③ 將每個結點的孩子排列起來，以單鏈表作存儲結構（葉子結點則此鏈表爲空）。然後將這些鏈表的頭指針，組成一個線性表存儲。

• 孩子兄弟表示法：
  每個結點分別由一個數據域和兩個指針域構成。指針域指向該結點的第一個孩子和右兄弟。該方法本質上等價於將任意一個複雜的樹，轉換成二叉樹結構。
  注意： 若某結點沒有孩子或右兄弟，將對應的指針域設定爲NULL。

四、特殊樹——二叉樹

4.1 二叉樹的定義

二叉樹是n個結點的有限集合，該集合或者爲空集（稱爲空二叉樹），或者由一個根結點和兩棵互不相交的（分別稱爲根結點的左子樹、右子樹）二叉樹組成。

二叉樹具有以下特點：
① 每個結點最多隻有兩棵子樹，所以二叉樹中的結點度取值只能爲三個值——0、1、2；
② 左子樹和右子樹是有順序的，不能任意顛倒；
③ 即使樹中某結點只有一棵子樹，也要區分其是左子樹還是右子樹。

二叉樹具有五種基本形態：
① 空二叉樹；
② 只有一個根結點；
③ 根結點只有左子樹；
④ 根結點只有右子樹；
⑤ 根結點既有左子樹又有右子樹。

4.2 二叉樹的存儲結構

• 順序存儲結構： 用一維數組存儲二叉樹中的結點，並且結點的存儲位置（數組的下標），需要體現結點之間的邏輯關係（雙親與孩子、兄弟等）。（維護麻煩、浪費內存，一般不會使用）
  存儲時，將目標二叉樹看作完全二叉樹，對各結點進行層序編號。其編號，就是在數組中存儲時的下標。若某個編號對應的結點不存在，在數組中存儲特殊標誌值表示。
• 二叉鏈表： 每個結點分別由一個數據域和兩個指針域構成。指針域分別指向存放左、右孩子的地址。如下圖：
  

4.3 二叉樹的性質

1. 在二叉樹的第i層上至多有2^{(i - 1)} 個結點（i ≥ 1）.；
2. 深度爲k的二叉樹至多有2^k - 1個結點（k ≥ 1） ；
3. 對任何一棵二叉樹，若終端結點數爲a，度爲2的結點數爲b，則a = b + 1；
4. 具有n個結點的完全二叉樹的深度爲 [log₂n] + 1（[x]表示不大於x的最大整數）；
5. 如果對一棵有n個結點的完全二叉樹（其深度爲[log₂n] + 1）的結點按層序從上至下、從左至右編號，對任一結點i（1 ≤ i ≤ n）有：
   ① 若i = 1，則結點i是二叉樹的根，無雙親；若i > 1，其雙親是結點 [i / 2]；
   ② 若2i > n，則結點i無左孩子（結點i爲葉子結點）；否則，其左孩子是結點2i；
   ③ 若2i + 1 > n，則結點i無右孩子；否則，其右孩子是結點2i + 1。

4.4 特殊形式二叉樹

4.4.1 斜樹：

所有結點都只有左子樹的二叉樹叫左斜樹。所有結點都只有右子樹的二叉樹叫右斜樹。這兩者統稱爲斜樹。

4.4.2 滿二叉樹：

在一棵二叉樹中，若所有分支結點都存在左子樹和右子樹，並且所有葉子都在同一層上，這樣的二叉樹稱爲滿二叉樹。

滿二叉樹具有以下特點：
① 葉子只能出現在最下一層，出現在其它層就不可能達到平衡；
② 非葉子結點的度一定是2；
③ 在同樣深度的二叉樹中，滿二叉樹的結點個數最多，葉子樹最多。

4.4.3 完全二叉樹：

對一個二叉樹的結點按層次從上至下、從左至右編號。如果每個編號，與等深度的滿二叉樹相同位置的結點完全一致。則稱該樹爲完全二叉樹。

完全二叉樹具有以下特點：
① 葉子結點只能出現在最下兩層；
② 最下層的葉子一定集中在左部連續位置；
③ 倒數二層，若有葉子結點，一定都在右部連續位置；
④ 如果結點度爲1，則該結點只有左孩子，既不存在只有右子樹的情況；
⑤ 同樣結點數的二叉樹，完全二叉樹的深度最小。

4.4.4 線索二叉樹：

利用二叉樹結點的空指針域，存儲該結點以某種次序遍歷的前驅、後繼（線索），提高遍歷效率的同時，增強了內存空間的利用效率。加了線索的二叉鏈表稱爲線索鏈表，相應的二叉樹稱爲線索二叉樹。而以某種次序遍歷，使一個二叉樹變成線索二叉樹的過程，稱爲線索化。
線索二叉樹的結點變量，需要包含兩個成員標誌（ltag、rtag），來表示lchild、rchild是指向左右孩子，還是前驅後繼。如下：

4.5 二叉樹的遍歷

二叉樹的遍歷是指從根結點出發，按照某種次序依次訪問二叉樹中所有結點，使得每個結點被訪問一次且僅被訪問一次。

• 前序遍歷： 若二叉樹爲空，則空操作返回；否則先訪問根結點，然後前序遍歷左子樹，再前序遍歷右子樹（根——左子樹——右子樹）。如下：
  
• 中序遍歷： 若二叉樹爲空，則空操作返回；否則先遍歷根結點的左子樹，然後訪問根結點，再中序遍歷右子樹（左子樹——根——右子樹）。如下：
  
• 後序遍歷： 若二叉樹爲空，則空操作返回；否則按從左到右、先葉子後結點的方式遍歷訪問左右子樹，最後訪問根結點（左子樹——右子樹——根）。如下：
• 層序遍歷： 若二叉樹爲空，則空操作返回；否則從樹的第一層，即根結點開始，按從上而下、從左到右的順序逐個訪問結點。如下：
  

五、樹、森林、二叉樹的轉換

5.1 “樹”轉換成“二叉樹”

① 加線。在所有兄弟結點之間加一條連線；
② 去線。對樹中每個結點，只保留它與第一個孩子結點的連線，刪除它與其他孩子結點之間的連線；
③ 層次調整。以樹的根結點爲軸心，講整棵樹順時針旋轉一定角度，使其結構層次分明。注意第一個孩子是二叉樹結點的左孩子，兄弟轉換過來的孩子是結點的右孩子。

5.2 “森林”轉換成“二叉樹”

① 把每棵樹轉換爲二叉樹；
② 第一棵二叉樹不動。從第二棵二叉樹開始，依次把後一棵二叉樹的根結點，作爲前一棵二叉樹的根結點的右孩子，用線連接起來。當所有的二叉樹連接起來後，就得到了由森林轉換而來的二叉樹。

5.3 “二叉樹”轉換成“樹”

① 加線。若某結點A，存在左孩子結點B，則將B的所有右孩子結點，都作爲A的孩子，用線連接起來；
② 去線，刪除原二叉樹中所有結點與其右孩子結點的連線；
③ 層次調整。使之結構層次分明。
如下：

5.4 “二叉樹”轉換成“森林”

① 從根結點開始，若右孩子存在，則把與右孩子結點相連的線刪除。再查看分離後的二叉樹，若右孩子存在，則連線刪除……，直到所有右孩子連線都刪除爲止；
② 將每棵分離後的二叉樹轉換成樹即可。