藍橋杯-大臣的旅費-樹的直徑

題目

藍橋杯歷屆習題中有一道題叫大臣的旅費，題目是這樣的：



乍一看這題可以使用DFS，對每個點都用一次DFS，求得最大的旅費（路徑權值）即可。但不幸的是，這麼做複雜度實在是太高了，壓力測試超時了。。。

於是就上網找各位網友的答案，發現這道題的考點是樹的直徑，用兩遍DFS即可得出答案。

樹的直徑

在一棵樹中，樹的直徑是兩個結點的最大距離（認爲樹中的邊權值非負），要求得這一距離，可以用兩遍DFS算法來求解。

第一遍DFS：從根節點開始遞歸深搜，找到距離根節點最遠的結點，記爲u。

第二遍DFS：從結點u開始遞歸深搜，找到距離u最遠的結點v。此時，d(u,v)記爲樹的直徑。

證明如下：
直觀：樹中最遠的兩個結點一定是葉子節點，不妨設爲u和v，其距離d(u,v)。
設有另外兩個葉子節點a,b與u,v不完全相同，且滿足d(a,b)>d(u,v)，下面反證該假設不成立。設結點p是結點u，a，b三者的公共最近祖先，因此有
$d(u,v)=d(u,p)+d(p,v)$
而且結點p一定在路徑(u,a)或路徑(u,b)上（否則p就不是最近的公共祖先了。不妨設結點p在路徑(u,a)上，因此
$d(u,a)=d(u,p)+d(p,a) \qquad (1)$
又因爲結點p是距離根節點最遠的點，因此
$d(u,p) \ge d(b,p) \qquad (2)$
因爲結點v是距離u最遠的點，因此
$d(u,v) \ge d(u,b) \qquad (3)$
結合（1）（2）（3）式得
$d(u,v) \ge d(b,p) + d(p,a)$
即
$d(u,v) \ge d(a,b)$
因此，得出結論，u，v距離必是樹直徑。

解題

由上述結論，求解“大臣的旅費”問題，只需要兩遍DFS，第一遍求得距離城市1最遠的城市，記爲farest，第二遍從farest開始深搜，過程中就可以得到結果result。

寫好代碼後，不幸的是，內存超了，發現是圖的表示用了二維數組，沒有考慮大規模數據問題。求改後，使用雙層嵌套Map用映射來表示非負權值邊。順利AC。這裏改爲鄰接鏈表表示比較合適，但懶得改了。

還有一點需要注意的是本題中大臣的旅行開銷的計算方法很迷惑。。需要注意一下，找到規律後，等差數列求值。

package main;

import java.util.ArrayList;
import java.util.HashMap;
import java.util.List;
import java.util.Map;
import java.util.Scanner;

public class Main {
  static int N = 0;
  static Map<Integer, Map<Integer, Integer>> edges;
  static int result = 0;
  static int farest = 0;

  public static void main(String[] args) {
    Scanner in = new Scanner(System.in);
    N = in.nextInt();
    edges = new HashMap<Integer, Map<Integer, Integer>>();
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
      edges.put(i, new HashMap<>());
    }
    for (int i = 0; i < N - 1; i++) {
      int a = in.nextInt();
      int b = in.nextInt();
      int c = in.nextInt();
      edges.get(a).put(b, c);
      edges.get(b).put(a, c);
    }
    boolean[] vis = new boolean[N + 1];
    vis[1] = true;
    dfs(1, 1, vis, 0, 0);
    result = 0;
    vis = new boolean[N + 1];
    vis[farest] = true;
    dfs(1, farest, vis, 0, 0);
    System.out.println(result);
    in.close();
  }

  public static void dfs(int k, int city, boolean[] vis, int cost, int dis) {
//    System.out.println("city: " + city + " k: " + k + " cost: " + cost);
    for (Integer next : edges.get(city).keySet()) {
      if (!vis[next]) {
        vis[next] = true;
        int pre_cost =
            (21 + edges.get(city).get(next) + 2 * dis) * edges.get(city).get(next) / 2 + cost;
        dfs(k + 1, next, vis, pre_cost, dis + edges.get(city).get(next));
        vis[next] = false;
      }
    }
    if (cost > result) {
      result = cost;
      farest = city;
    }
  }
}