四邊形不等式

四邊形不等式

優化一種動態規劃遞推式：

1. $f_i=min_{0\le j\lt i}\{f_j+w(j+1,i)\}$ 典型題目：序列劃分
2. $f_{i,j}=min_{i\le k \lt j}\{f_{i,k}+f_{k+1,j}+w(i,j)\}$ 典型題目：石子合併

必須滿足的條件：

a. $w(i,j)$滿足區間包含單調性
b. $w(i,i)=0$
c. $w(i,j)$滿足四邊形不等式，即對於$x \le x' \lt y \le y'$，有$w(x,y) + w(x',y') \le w(x,y'),+w(x',y)$

決策單調性證明

1維遞推式決策單調性證明

對於式子$1$，假設$k$是$f_i$的最優決策點，假設$i'>i,k'<k$，那麼對於$f_{i'}$來說，在$k$點決策優於在$k'$點決策。

1. 首先有1式：$f_i=f_k+w(k+1,i) < f_{k'}+w(k'+1,i)$
2. 取點$k'+1 \lt k+1 \lt i \lt i'$，根據四邊形不等式得2式：$w(k'+1,i)+w(k+1,i') \lt w(k'+1,i') + w(k+1,i)$
3. 1式 + 2式可得3式：$f_k+w(k+1,i') \lt f_{k'} + w(k'+1,i')$
   根據3式，顯然決策單調性滿足。

2維遞推式決策單調性證明

對於式子$2$，假設$p(i,j)$是$f_{i,j}$的最優決策點，那麼證明決策單調性即等價於證明$p(i,j-1) \le p(i,j) \le p(i+1,j)$。
先證明$p(i,j-1) \le p(i,j)$，右邊同理。
證明方法：設是$p(i,j-1)=k,k' \lt k$

1. 由$k$的最優性，得到1式$f_{i,j-1}=f_{i,k} + f_{k+1,j-1}+w(i,j-1) \lt f_{i,k'} + f_{k'+1,j-1}+w(i,j-1)$
2. 由於$w$滿足四邊形不等式，其實$f$也滿足四邊形不等式，取$k'+1 \lt k+1 \lt j-1 \lt j$，由遞變形不等式可得：$f_{k'+1,j-1}+f_{k+1,j} \lt f_{k'+1,j}+f_{k+1,j-1}$。
3. 1式+2式可得：$f_{i,k}+f_{k+1,j}+w(i,j) \lt f_{i,k'}+f_{k'+1,j}+w(i,j)$。
   顯然，對於$f_{i,j}$來說，決策點$k$要比$k'$好，證明完畢。

於是石子合併的代碼可以寫成：

for(int i = 1;i <= n;++i) {
	dp[i][i] = 0;
	dp[i][i+1] = a[i] + a[i+1];
	p[i][i+1] = i;
}
for(int len = 3;len <= n;++len) 
	for(int i = 1;i <= n;++i) {
		int j = i + len - 1;
		if(j > n) break;
		for(int k = p[i][j-1],k <= p[i+1][j];++k) {
			int X = dp[i][k] + dp[k+1][j];
			if(X < dp[i][j]){
				dp[i][j] = X;
				p[i][j] = k;
			}
		}
	}
}

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例題

http://poj.org/problem?id=1160

題目大意

給出$V$個村莊的橫座標，從中選出$P$個安放郵局，使得所有村莊去郵局距離之和最小。

解：

當只安放一個郵局時候，顯然只需選在中間點即可。
設$w(i,j)$表示把$[i,j]$區間內的村莊安置一個郵局，其最小距離和。
容易發現，$w(i,j)$可以用動態規劃來求解，時間複雜度$O(n^2)$，$w(i,j)=w(i,j-1)+(x[j+1]-x[\frac{y+1+x}{2}])$，發現$w(i,j)$滿足四邊形不等式等3個條件。

記$f_{i,j}$表示在前$i$個村莊安放$j$個郵局，距離之和的最小值。
類似於序列化分問題，我們可以找到轉移方程：
$f_{i,j}=min(f_{k,j-1}+w(k+1,i))$，根據1維線性遞推式的決策單調性證明方法，可以知道這個式子也可以使用四邊形進行優化。