線性代數：矩陣的逆

關於矩陣的逆有很多性質和定理，例如，可逆矩陣一定是方陣、滿秩矩陣、非奇異矩陣，可逆矩陣的行列式的值不爲零等等。在證明一個矩陣是不可逆矩陣時，Strang教授講了一種幾何的思路：

矩陣不可逆的證明

根據可逆矩陣的定義，如果方陣$\mathbf{A} * \mathbf{B}=\mathbf{I}$，則$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$互稱逆矩陣。下面是一個二維不可逆矩陣的例子，有矩陣$\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}$，如果$\mathbf{A}$可逆，則有$\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix} * \mathbf{B}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$，對矩陣$\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}$中的兩個列向量作某種線性組合會得到列向量$\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$。從圖上可以很明顯看出來，不管是什麼線性組合都無法得到列向量$\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$，所以，矩陣$\mathbf{A}$不是可逆矩陣。

Strang教授把大部分抽象的矩陣運算用幾何的思維呈現，非常有利於理解矩陣。

求逆

我們可以用高斯消元法（Gauss Elimination）求解方程組的解，在求矩陣的逆時則可以用高斯-若爾當消元法（Gauss-Jordan Elimination）。
方程組可以用$\mathbf{A} * \mathbf{x} = \mathbf{b}$來表示，通過對增廣矩陣$\begin{bmatrix}\mathbf{A}\text{\textbar}\mathbf{b}\end{bmatrix}$進行初等變換，然後再用“回代”法即可求得方程組的解。在求矩陣的逆時（$\mathbf{A} * \mathbf{B}=\mathbf{I}$），可以把矩陣$\mathbf{B}$看成多個列向量（$\mathbf{x}$）的組合，那麼求解矩陣$\mathbf{A}$的逆就可以看成是同時求解多個方程組，即通過初等變換將增廣矩陣$\begin{bmatrix}\mathbf{A}\text{\textbar}\mathbf{I}\end{bmatrix}$變換成$\begin{bmatrix}\mathbf{I}\text{\textbar}\mathbf{B}\end{bmatrix}$，得到的矩陣$\mathbf{B}$即爲$\mathbf{A}$的逆矩陣。