算法設計與分析 動態規劃 習題

3.1

滿足遞歸式F(n)=F(n-1)+F(n-2)和初始值F(0)=F(1)=1的數列稱爲斐波那契數列。考慮如何計算該數列的第n項F(n)。

（1）說明根據遞歸式直接完成計算，將有子問題重複求解；
（2）說明該問題具有優化子結構；
（3）寫出求解F(n)的動態規劃算法，並分析算法的時間複雜性。

• O(logN)求斐波那契數列第N項：動態規劃、矩陣分治

3.2

數字三角形問題：設有一個三角形的數塔，頂點爲根結點，每個結點有一個整數值。從頂點出發，可以向左走或向右走，如圖所示：

要求從根結點開始，請找出一條路徑，使路徑之和最大，只要輸出路徑的和。

要求：(1) 寫出遞推方程；(2)寫出算法僞代碼；(3) 分析算法的時間複雜度。

• 解法：從底向上遞推，$f(i)(j)=MAX[f(i-1)(j), f(i-1)(j+1)]$
• 複雜度$O(n)$

for (int i=n-1;i>=1;i--){
	for (int j=1;j<=i;j++){
		f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i-1][j+1]);
	}
}

3.3

給定一個n×n的矩陣 A，矩陣中的元素只取 0 或者 1。設計一個動態規劃算法，求解得到 A 中元素全是 1 的子方陣使其階數達到最大值。

要求寫出僞代碼、遞歸方程並分析算法的時間複雜度。

• 解法：$f(i)(j)$表示以第$i$行$j$列的格子爲矩陣右下角的階數最大值
• $f(i)(j)=MIN(f(i-1)(j-1), k)+1$
• 滿足$a[i][j-h]=a[i-h][j], h=0,1,2,...,k$且$k$最大

3.4

石子歸併問題：在一個圓形操場的四周擺放着n堆石子，現要將石子有次序地合併成一堆。規定每次只能選擇相鄰的兩堆石子合併成新的一堆，並將新一堆石子數記爲該次合併的得分。試設計一個動態規劃算法，計算出將n堆石子合併成一堆的最小得分和最大得分.

要求列出遞歸方程，寫出算法的僞代碼並分析算法的計算複雜性。

• 解法：分別使用最大堆和最小堆，每次取出兩次堆頂元素，合併，計算代價，再放入堆中。

3.5

我們考慮將數軸上的n個點聚成k類的問題。
輸入：n個從小到大的不同實數x1, x2, …, xn表示n個不同點，一個參數kn.
任務：將n個點劃分成k個不相交的非空集合S1, …., Sk滿足⋃_(i=1)^k▒S_i ={x1, x2, …, xn}，Si中所有點在Si+1中所有點左邊，1i<k，也就是說對於任意xSi, zSi+1, y<z.

目標：最小化∑_(i=1)^k▒〖cost(S_i)〗,其中cost(Si)=(max(Si)-min(Si))2. max(Si)是Si中的最小元素，min(Si)是Si中的最大元素。

例如，如果Si={xj}，cost(Si)=0，如果Si={xj, xj+1, …, xj+t}, xj,<xj+1< …< xj+t，那麼cost(Si)=(xj+t-xj)2.

• 思路：猜想代價單調且滿足貪心策略（未證明，不確定）
• 大概像下一題3.6一樣，代價計算策略不同

3.6

假設書架上一共有9本書，每本書各有一定的頁數，分配3個人來進行閱讀。爲了便於管理，分配時，各書要求保持連續，比如第1、2、3本書分配給第1人，4、5分配給第二人，6，7，8，9分配給第3人，但不能1，4，2分配給第1人，3，5，6分配給第2人。即用兩個隔板插入8個空隙中將9本書分成3部分，書不能換位。同時，分配時必須整本分配，同一本書不能拆成兩部分分給兩個人。爲了公平起見，需要將工作量最大的那一部分最小化，請設計一個動態規劃算法。用s1,…,sn表示各本書的頁數。

（1）簡明的寫出問題的遞推方程； （2）描述算法僞代碼； （3）分析算法的時間複雜度。

• 解法：$f(i, j)$爲從第1到第i本書分爲j份的最小最大值
• 前提：因爲一堆書被分爲k-1份後，再分一份變成k份一定更優
• $f(i, j)=MIN[MAX[f(p, i-1)+sum[j]-sum[p]]], p=i,i+2,...j-1, sum[i]=sigma(1,i)$

3.7

將一根木棒折成若干份，每折一次的代價是當前這段木棒的長度, 總代價是折這根木棒直到滿足要求所需要的所有操作的代價。例如，將一根長度爲10的木棒折成四段，長度分別爲2, 2, 3, 3，如果先折成長度爲2和8的兩段，再將長度爲8的折成長度爲2和6的兩段，最後將長度爲6的折成長度爲3的兩段，這些操作的代價是10+8+6=24；如果先折成長度爲4和6的兩段，在分別將長度爲4的折成長度爲2的兩段、長度爲6的折成長度爲3的兩段，則這些操作的代價是10+4+6=20，比上一種方案更好一些。該問題的輸入是木棒的長度L和一些整數c1,…,cn,.

要求將木棒折成長度爲c1, …, cn的n段且操作代價最小，請設計動態規劃算法解決該問題。

• 解法：逆向3.4