概率

概率一直都讓我頭疼
而且還是必修三的內容

事件

幾種事件

在一次隨機試驗中可能發生的不能再細分的結果被稱爲單位事件，用$E$表示。在隨機試驗中可能發生的所有單位事件的集合稱爲事件空間，用$S$來表示。

$E$是元素，$S$是集合

對於任意一個事件$A$，滿足$E\in A\subseteq S$

事件的計算

事件是可以計算的！

和事件/並事件：$C=\bigcap_{i=1}^n A_i$ ，只要其一發生，和事件就發生
積事件/交事件：$C=\bigcup_{i=1}^n A_i$ ，多個事件全部發生，積事件才發生

互斥事件：$A\cap B=\varnothing$
對立事件：$A\cap B=\varnothing , A\cup B=S$

頻數和頻率

頻數

出現$A$事件的次數，記爲$n_A$

頻率/概率

出現$A$事件的概率記爲$P(A)$，頻率記爲$f_n(A)$，其中$f_n(A)\approx P(A)=\frac{n_A}{n}$

幾種事件的定義

在後文中，用$P(A)$指$A$發生的概率
容易知道，$P(A)\in [0,1]$

不可能事件：$P(A)=0$
隨機事件：$P(A)\in (0,1)$
必然事件：$P(A)=1$

特別地，事件空間的概率$P(S)=1$

概率的運算

若$A$，$B$互斥，則$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

（這一條是定理）

特別地，如果$A$，$B$對立，則$P(A)=1-P(B)$

古典概型

定義

1. 試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個（有限性）
2. 試驗中每個基本事件出現的可能性相等（等可能性）⭐️⭐️

使用古典概型結論的時候要判定是否爲古典概型
古典概型的結論上面已經呈現過了

計算

• 全概率公式（通過積事件證明：$P(A\cup B)=P(A)\cdot P(B|A)$（輪換成立））
  對於一個事件空間$S$，其所有事件$S=\{A_1,A_2,...,A_n\}$（不一定非要是單位事件，只要這些事件互斥就行了，可以用基底的思想來理解這些事件）
  另有一子事件$B$，則有$P(B)=\sum^n_{i=1}P(A_i)P(B|A_i)$

$P(B|A_i)$表示在發生$B$的前提下發生$A_i$

• 貝利葉定理
  $P(B_i|A)=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum^n_{j=1}P(B_j)P(A|B_j)}$

幾何概型

$P(A)=\frac{F(A)}{F(S)}$

其中$F(M)$指事件$M$所代表的幾何要素

期望

定義

在一定區間內變量取值爲有限個，或數值可以一一列舉出來的變量稱爲離散型隨機變量。一個離散性隨機變量的數學期望是試驗中每次可能的結果乘以其結果概率的總和。（其實連續型隨機變量也是可以的，期望定義裏的$\sum$改成$\int$）

看不懂是吧
看下面這個

$E(X)=\sum_{i=1}^nx_iP(x_i)$

本質上是所有可能出現數值的平均值
分享一個小故事：

在17世紀，有一個賭徒向法國著名數學家帕斯卡挑戰，給他出了一道題目：甲乙兩個人賭博，他們兩人獲勝的機率相等，比賽規則是先勝三局者爲贏家，一共進行五局，贏家可以獲得100法郎的獎勵。當比賽進行到第四局的時候，甲勝了兩局，乙勝了一局，這時由於某些原因中止了比賽，那麼如何分配這100法郎才比較公平？

性質

線性性質對應$\forall x,y\in I$（$I$爲定義域），$E(x+y)=E(x)+E(y)$

若$C$爲常量，$E(C)=C$

$E(CX)=CE(X)$

若$X\cap Y=\varnothing$，$E(XY)=E(X)E(Y)$

全期望公式
$E(Y)=E[E(Y|X)]$

證明
若$Y=g(X)$，而$X=f(x)$
$E(Y)=E(g(X))=\sum_{i=1}^ng(x)f(x)$