【洛谷 P4156】 [WC2016]論戰捆竹竿（border相關 / 同餘最短路）

傳送門

顯然是把所有$border$拿出來做揹包
但顯然跑不過去
於是考慮做同餘最短路
顯然是在$\%n$下做
但還是過不了

考慮$border$的性質
形成$log$個等差數列
順便在這裏補一下證明：

---

設$A,B$爲$S$兩個$border$且都滿足$|A|,|B|\geq\frac{|S|}{2}$
且$A$爲最長的$border$
首先一個顯然的結論是：
若存在$x,y$都爲$S$的週期，那麼$gcd(x,y)$仍然爲$S$的週期
另一個顯然的結論是$|S|-length_{border}$爲週期
設
$p=|S|-|A|,q=|S|-|B|$
則$S-gcd(p,q)\geq |A|$
那麼$gcd(p,q)=p$，則$q|p$
那麼長度$\geq \frac{|S|}{2}$的$border$就是公差爲$p$的等差數列

然後再遞歸$\frac{|S|}{2}$,於是得證

---

那麼考慮對於每一個等差數列$d,d+k,d+2k.....d+l*k$
做$\% d$意義下的同餘最短路
那麼顯然會分別形成$gcd(d,k)$個環
對於每個環，我們可以直接從$dis$最小的一個開始
由於要滿足最多填$l$個$k$
用單調隊列維護即可

再考慮怎麼從$f'(\%d_1)$轉移到$f(\%d_2)$
那麼$f_i=\min_{f'_j\%d_2=i}f'_j$
然後再考慮一次原來的長度爲$d_1$的轉移

複雜度$O(nlogn)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define cs const
#define re register
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
#define ll long long
#define fi first
#define se second
#define bg begin
cs int RLEN=1<<20|1;
inline char gc(){
    static char ibuf[RLEN],*ib,*ob;
    (ib==ob)&&(ob=(ib=ibuf)+fread(ibuf,1,RLEN,stdin));
    return (ib==ob)?EOF:*ib++;
}
inline int read(){
    char ch=gc();
    int res=0;bool f=1;
    while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
    while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return f?res:-res;
}
inline ll readll(){
    char ch=gc();
    ll res=0;bool f=1;
    while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
    while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return f?res:-res;
}
inline int readstring(char *s){
	int top=0;char ch=gc();
	while(isspace(ch))ch=gc();
	while(!isspace(ch)&&ch!=EOF)s[++top]=ch,ch=gc();
	return top;
}
template<typename tp>inline void chemx(tp &a,tp b){a<b?a=b:0;}
template<typename tp>inline void chemn(tp &a,tp b){a>b?a=b:0;}
cs int N=500005;
cs ll inf=1e18;
int nxt[N];
char s[N];
ll f[N],tp[N],w;
int n,bor[N],cnt,m,q[N],qr[N];
inline int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
inline void solve(int be,int del,int l){
//	cout<<be<<" "<<del<<" "<<l<<'\n';
	int d=gcd(be,m);
	for(int i=0;i<m;i++)tp[i]=f[i];
	for(int i=0;i<be;i++)f[i]=inf;
	for(int i=0;i<m;i++)chemn(f[tp[i]%be],tp[i]);
	for(int i=0;i<d;i++){
		int top=0;
		q[top=1]=i;
		int now=(i+m)%be;
		while(now!=q[1])q[++top]=now,now=(now+m)%be;
		for(int i=2;i<=top;i++)chemn(f[q[i]],f[q[i-1]]+m);
		chemn(f[q[1]],f[q[top]]+m);
		for(int i=2;i<=top;i++)chemn(f[q[i]],f[q[i-1]]+m);
	}
	//for(int i=0;i<be;i++)cout<<f[i]<<" ";puts("");
	m=be;
	if(del<0)return;
	d=gcd(m,del);
	for(int i=0;i<d;i++){
		int top=0;
		q[top=1]=i;
		int now=(i+del)%m,pos=1,num=0,hd,tl;
		while(now!=q[1])q[++top]=now,now=(now+del)%m;
		for(int i=2;i<=top;i++)if(f[q[i]]<f[q[pos]])pos=i;
		for(int i=pos;i<=top;i++)qr[++num]=q[i];
		for(int i=1;i<pos;i++)qr[++num]=q[i];
		q[hd=tl=1]=1;
		for(int j=2;j<=top;j++){
			while(hd<=tl&&j-q[hd]>l)hd++;
			if(hd<=tl)chemn(f[qr[j]],f[qr[q[hd]]]+1ll*del*(j-q[hd])+m);
			while(hd<=tl&&f[qr[q[hd]]]-1ll*del*q[hd]>=f[qr[j]]-1ll*del*j)tl--;
			q[++tl]=j;
		}
	}
}
inline void solve(){
	n=read(),w=readll()-n;
	readstring(s);
	for(int i=0,j=2;j<=n;j++){
		while(i&&s[i+1]!=s[j])i=nxt[i];
		if(s[i+1]==s[j])i++;
		nxt[j]=i;
	}m=n;cnt=0;
	for(int i=1;i<m;i++)f[i]=inf;f[0]=0;
	for(int p=n;nxt[p];p=nxt[p])bor[++cnt]=n-nxt[p];
	for(int i=1,j=1;i<=cnt;j++,i=j){
		while(j<cnt&&bor[i+1]-bor[i]==bor[j+1]-bor[j])j++;
		solve(bor[i],bor[i+1]-bor[i],j-i);
	}
	ll res=0;
	for(int i=0;i<m;i++)
	if(w>=f[i])res+=(w-f[i])/m+1;
	cout<<res<<'\n';
}
signed main(){
	#ifdef Stargazer
	freopen("lx.in","r",stdin);
	#endif
	int T=read();
	while(T--)solve();
	return 0;
}