經典力學學習（運動學）——圓周運動與一般平面曲線運動

圓周運動的$\blue{運動方程}$和$\blue{軌跡方程}$

1、圓周運動方程的$\red{分量式}$

$x=Rcos(wt),y=Rsin(wt),z=0$

1、圓周運動方程的$\red{矢量式}$

$\vec{r}=R(cos(wt)\vec{i}+sin(wt)\vec{j})$

軌跡方程

$x^2+y^2=R^2,z=0$

自然座標中的速度和加速度

速度

線速度：$\vec{v}=\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\lim(\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta s}\frac{\Delta s}{\Delta t})=(\lim\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta s})(\lim\frac{\Delta s}{\Delta t})$$(\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta s})=\frac{d\vec{r}}{ds}=\vec{\tau}$$v=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{ds}{dt}$$\vec{v}=v\vec{\tau}=\frac{ds}{dt}\vec{\tau}$

圓周運動加速度

加速度：$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d(v\vec{\tau})}{dt}=\frac{dv}{dt}\vec{\tau}+v\frac{d\vec{\tau}}{dt}$其中：$d\vec{\tau}=|\tau|d\theta\vec{n}=d\theta\vec{n}$$\frac{d\vec{\tau}}{dt}=\frac{d\theta}{dt}\vec{n}=\frac{Rd\theta}{Rdt}\vec{n}=\frac{1}{R}\frac{ds}{dt}\vec{n}=\frac{v}{R}\vec{n}$$\Rightarrow\vec{a}=\frac{dv}{dt}\vec{\tau}+\frac{v^2}{R}\vec{n}=a_{\tau}\vec{\tau}+a_n\vec{n}$
切向加速度：$a_{\tau}=\frac{dv}{dt}$
法向加速度：$a_n=\frac{v^2}{R}$
加速度大小：$a=|\vec{a}|=\sqrt{a_{\tau}^2+a_n^2}$

圓周運動的角量表示

角速度：$\omega=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \theta}{\Delta t}=\frac{d\theta}{dt}$
角加速度：$\alpha=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \omega}{\Delta t}=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^2\theta}{dt^2}$
$\red{角速度\vec{\omega}方向：}$按照“右手規則”確定，四個手指指向運動方向，大拇指方向便是角速度方向。
$\red{角加速度\vec{\alpha}方向：}$加速時與$\vec{\omega}$方向相同，減速時與$\vec{\omega}$方向相反。

圓周運動中線量與角量的關係

線速度與角速度：$\Delta s=R\Delta \theta=>v=R\omega$
切向加速度與角加速度：$a_{\tau}=R\alpha(由上式對t求導所得)$
法向加速度與角速度：$a_n=\frac{v^2}{R}=v\omega=R{\omega}^2$
速度分量式：$v_x=\frac{dx}{dt}=\frac{d(Rcos\omega t)}{dt}=-R\omega sin\omega t$$v_y=\frac{dy}{dt}=\frac{d(Rsin\omega t)}{dt}=R\omega cos\omega t$$v=\sqrt{v^2_x+v^2_y}=R\omega$
速度矢量式：$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=v_x\vec{i}+v_y\vec{j}=R\omega(-sin\omega t\vec{i}+cos\omega t\vec{j})$
加速度分量式:$a_x=\frac{dv_x}{dt}=-R\omega^2cos\omega t$$a_y=\frac{dv_y}{dt}=-R\omega^2sin\omega t$$a=|\vec{a}|=\sqrt{a^2_x+a^2_y}=R\omega^2$

勻變速率圓周運動

$\alpha=常量，故：a_t=r\alpha,a_n=r\omega^2$$\omega=\omega_0+\alpha t$$\theta=\theta_0+\omega_0t+\frac{1}{2}\alpha t^2$$\omega^2=\omega_0^2+2\alpha(\theta-\theta_0)$

一般平面曲線運動

對於這種曲線運動，曲率半徑是變化的，通常是$\rho$來表示。

$\vec{a}=\vec{a}_{\tau}+\vec{a}_n=a_{\tau}\vec{\tau}+a_n\vec{n}=\frac{dv}{dt}\vec{\tau}+\frac{v^2}{\rho}\vec{n}$$a=|\vec{a}|=\sqrt{a^2_{\tau}+a^2_n}$
對於勻速圓周運動：$v=C,a_{\tau}=\frac{dv}{dt}=0,a=a_n=\frac{v^2}{R}$