經典力學（動力學）——動量守恆定律與能量守恆定律

質點和質點系的動量定理

力的累積效應$\begin{cases} \vec{F}(t)對t的累積 \to \vec{I},\Delta\vec{p} \\ \vec{F}對\vec{r}累積 \to W,\Delta E\end{cases} \Longrightarrow$$\begin{cases} 動量、衝量、動量定理、動量守恆定律 \\ 動能、功、動能定理、機械能守恆定律 \end{cases}$

衝量 質點的動量定理

衝量

動量（狀態量）：$\vec{p}=m\vec{v}$$\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}=\frac{d(m\vec{v})}{dt} \Rightarrow \vec{F}dt=d\vec{p}=d(m\vec{v})\Rightarrow \int_{t_1}^{t_2}\vec{F}dt=\vec{p}_2-\vec{p}_1=m\vec{v}_2-m\vec{v}_1$
衝量定義（過程量）：$\vec{I}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}dt$

質點的動量定理

微分形式：$\vec{F}dt=d\vec{p}=d(m\vec{v})$
積分形式：$\vec{I}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}dt=\vec{p}_2-\vec{p}_1=m\vec{v}_2-m\vec{v}_1$

$\red{動量定理}$：在給定時間間隔內，外力作用在質點上的衝量，等於質點在此時間內動量的增量。
以上兩種形式也可用分量表示，某方向收到衝量，該方向的動量就增加。

質點系的動量定理

對兩質點分別用質點動量定理：
$\begin{cases}\int_{t_1}^{t_2}(\vec{F}_1+\vec{F}_{12})dt=m_1\vec{v}_1-m_1\vec{v}_{10}\\ \int_{t_1}^{t_2}(\vec{F}_2+\vec{F}_{21})dt=m_2\vec{v}_2-m_2\vec{v}_{20} \end{cases}$
因爲內力和$\vec{F}_{12}+\vec{F}_{21}=0$,所以兩式相加後：
$\int_{t_1}^{t_2}(\vec{F}_1+\vec{F}_2)dt=(m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2)-(m_1\vec{v}_{10}+m_2\vec{v}_{20})$
即：
$\vec{I}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}^{ex}dt=\sum_{i=1}^{n}m_i\vec{v}_i-\sum_{i=1}^{n}m_i\vec{v}_{i0}=\vec{p}-\vec{p}_0$
$\red{質點系動量定理：}$作用於系統的合外力的衝量等於系統動量的增量。
注意：要區分內力和外力，內力僅能改變系統內某個物體的動量，但不能改變系統的總動量。

(1)$F$爲恆力，$\vec{I}=\vec{F}\Delta t$

(2)$F$爲變力，$\vec{I}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}dt= \overline {\vec{F}}(t_2-t_1)$($\red{平均衝力}$)
動量定理經常應用於碰撞問題

在$\Delta \vec{p}一定時，\Delta t越小， \overline {\vec{F}}越大$

動量守恆定律 動能定律

動量守恆定律

質點系動量定理：
$\vec{I}=\int_{t_1}^{t_2}\sum_{i}^{}\vec{F}_i^{ex}=\sum_{i}^{}\vec{p}_i-\sum_{i}^{}\vec{p}_{i0}$若質點系所受合外力爲0：
$\vec{F}^{ex}=\sum_{i}^{}\vec{F}_i^{ex}=0$則系統的$\blue{總動量}$不變————$\red{動量守恆定律}$

動能定理

力的空間累積效應：
$\red{做功：}$物體在力$\vec{F}$作用下移動$\Delta \vec{r} \Rightarrow$做功W
做功分爲恆力下做功和變力下做功：
恆力作用下的功：

$W=Fcos\theta \cdot |\Delta \vec{t}|=\vec{F}\cdot \Delta \vec{r}$
變力作用下的功：

$dW=\vec{F}\cdot\ d\vec{r}=Fcos\theta \cdot|d\vec{r}|=Fcos\theta \cdot ds$$\Rightarrow W=\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot\ d\vec{r}=\int_{A}^{B}Fcos\theta \cdot ds$
其中$\theta$爲力與相對應位移的夾角。
(1)關於功的正負：$\begin{cases} 0^o<\theta <90^o ,dW>0 \\ 90^o<\theta <180^o ,dW<0 \\ \theta =90^o ,\vec{F} \perp \vec{r},dW=0 \end{cases}$
(2)做功的直觀圖示：

$W=\int_{s_1}^{s_2}Fcos\theta ds$
(3)功是一個過程量，與路徑有關。
(4)合力的功，等於各分力的功的代數和。

功的單位（焦耳）	$1J=1N \cdot m$
平均功率	$\overline{P}=\frac{\Delta W}{\Delta t}$
瞬時功率	$P=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta W}{\Delta t}=\frac{dW}{dt}=\vec{F}\cdot \vec{v}=Fvcos\theta$
功率單位（瓦特）	$1W = 1 J.s^{-1} ,1kW=10^3W$

質點的動能定理

$W=\int \vec{F} \cdot d\vec{r}=\int F_t\cdot |d\vec{r}|=\int F_tds=\int m\frac{dv}{dt}ds=\int_{v_1}^{v_2}mvdv=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2=E_{k2}-E_{k1}$
合外力對質點所做的功，等於質點動能的增量——$\red{質點動能定理}$
$\red{Tips:}$功是$\blue{過程量}$，動能是$\blue{狀態量}$
功和動能依賴於慣性系的選取，但對不同慣性系動能定理形式相同。