Matlab離散優化： Mixed-Integer Linear Programming Basics: Problem-Based

全文翻譯自Matlab官方教程：Mixed-Integer Linear Programming Basics: Problem-Based

這個例子展示瞭如何解決一個混合整數線性問題。雖然不復雜，但示例顯示了使用基於問題的方法來構造問題的典型步驟。有關顯示此示例的視頻，請參見 Mixed-Integer Linear Programming Basics: Sovler-Based。

Problem Description

你想把不同化學成分的鋼混合起來，得到25噸具有特定化學成分的鋼。結果應含有5%的碳和5%的鉬（按重量計），即25噸*5%=1.25噸碳和1.25噸鉬。其目的是儘量降低鋼的混合成本。

這個問題摘自Carl Henrik Westerberg，Bengt Bjorklund和Eskil Hultman，“瑞典鋼鐵廠混合整數規劃的應用”，接口1977年2月第7卷，第2期，第39-43頁，摘要見https://doi.org/10.1287/inte.7.2.39。

有四塊鋼錠可供購買，每個鋼錠只有一個可用。

可購買三級合金鋼和一級廢鋼，合金鋼和廢鋼可以少量購買。

Formulate Problem

要解決這個問題，首先要確定控制變量。取變量$ingot(1)=1$表示購買錠1，$ingot(1)=0$表示不購買錠1。類似地，變量$ingot(2)$到$ingot(4)$是指示您是否購買錠2到錠4的二進制變量。

變量$alloys(1)$到合金$alloys(3)$是以噸爲單位購買的合金1、2和3的數量。$scrap$是您購買的廢鋼數量。

steelprob = optimproblem;
ingots = optimvar('ingots',4,'Type','integer','LowerBound',0,'UpperBound',1);
alloys = optimvar('alloys',3,'LowerBound',0);
scrap = optimvar('scrap','LowerBound',0);

創建cost的函數。

weightIngots = [5,3,4,6];
costIngots = weightIngots.*[350,330,310,280];
costAlloys = [500,450,400];
costScrap = 100;
cost = costIngots*ingots + costAlloys*alloys + costScrap*scrap;

把cost作爲目標函數包含在問題中。

steelprob.Objective = cost;

這個問題有三個等式約束。第一個限制是總重量是25噸，計算鋼的重量：

totalWeight = weightIngots*ingots + sum(alloys) + scrap;

第二個限制是碳的重量是25噸的5%，即1.25噸。計算鋼中碳的重量：

carbonIngots = [5,4,5,3]/100;
carbonAlloys = [8,7,6]/100;
carbonScrap = 3/100;
totalCarbon = (weightIngots.*carbonIngots)*ingots + carbonAlloys*alloys + carbonScrap*scrap;

第三個限制是鉬的重量是1.25噸。計算鋼中鉬的重量：

molybIngots = [3,3,4,4]/100;
molybAlloys = [6,7,8]/100;
molybScrap = 9/100;
totalMolyb = (weightIngots.*molybIngots)*ingots + molybAlloys*alloys + molybScrap*scrap;

在問題中包含約束:

steelprob.Constraints.conswt = totalWeight == 25;
steelprob.Constraints.conscarb = totalCarbon == 1.25;
steelprob.Constraints.consmolyb = totalMolyb == 1.25;

Solve Problem

調用求解器：

[sol,fval] = solve(steelprob);

輸出：

Solving problem using intlinprog.
LP:                Optimal objective value is 8125.600000.                                          

Cut Generation:    Applied 3 mir cuts.                                                              
                   Lower bound is 8495.000000.                                                      
                   Relative gap is 0.00%.                                                          


Optimal solution found.

Intlinprog stopped at the root node because the objective value is within a gap
tolerance of the optimal value, options.AbsoluteGapTolerance = 0 (the default
value). The intcon variables are integer within tolerance,
options.IntegerTolerance = 1e-05 (the default value).

查看結果：

sol.ingots

ans = 4×1

    1.0000
    1.0000
         0
    1.0000

sol.alloys

ans = 3×1

    7.2500
         0
    0.2500

sol.scrap
sol.fval

ans = 3.5000
fval = 8.4950e+03

最佳購買價格爲8495美元。購買1號、2號和4號鋼錠，但不要購買3號鋼錠，購買7.25噸合金1、0.25噸合金3和3.5噸廢鋼。