Matlab 離散優化： Mixed-Integer Linear Programming Basics: Solver-Based

本文全文翻譯自Matlab官方教程：Mixed-Integer Linear Programming Basics: Solver-Based

這個例子展示瞭如何解決一個混合整數線性問題。雖然不復雜，但該示例顯示了使用intlinprog語法構造問題的典型步驟。

對於這個問題的基於問題的方法，參見：Mixed-Integer Linear Programming Basics: Problem-Based

Poblem Description

你想把不同化學成分的鋼混合起來，得到25噸具有特定化學成分的鋼。結果應含有5%的碳和5%的鉬（按重量計），即25噸*5%=1.25噸碳和1.25噸鉬。其目的是儘量降低鋼的混合成本。

這個問題摘自Carl Henrik Westerberg，Bengt Bjorklund和Eskil Hultman，“瑞典鋼鐵廠混合整數規劃的應用”，接口1977年2月第7卷，第2期，第39-43頁，摘要見https://doi.org/10.1287/inte.7.2.39。

有四塊鋼錠可供購買，每個鋼錠只有一個可用。

可購買三級合金鋼和一級廢鋼，合金鋼和廢鋼可以少量購買。

要解決這個問題，首先要確定控制變量。取變量$x(1)=1$表示購買鑄錠1，$x(1)=0$表示不購買鑄錠。類似地，變量$x(2)$到$x(4)$是指示您是否購買錠2到4的二進制變量。

變量$x(5)$到$x(7)$是以噸爲單位購買的合金1、2和3的數量，$x(8)$是以噸爲單位購買的廢鋼數量。

MATLAB® Formulation

通過指定intlinprog的輸入來求解問題。intlinprog語法：

[x,fval] = intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

爲intlinprog創建從第一個(f)到最後一個(ub)的輸入。

f是cost係數的向量,代表鑄錠成本的係數是鑄錠重量乘以每噸成本。

f = [350*5,330*3,310*4,280*6,500,450,400,100];

整數變量是前四個:

intcon = 1:4;

提示：要指定二進制變量，請在intcon中將這些變量設置爲整數，並給它們一個下界0和上界1。

該問題沒有線性不等式約束，因此A和b是空矩陣[]。

A = [];
b = [];

這個問題有三個等式約束。首先是總重量是25噸:

5*x(1) + 3*x(2) + 4*x(3) + 6*x(4) + x(5) + x(6) + x(7) + x(8) = 25

第二個限制是碳的重量是25噸的5%，即1.25噸:

5*0.05*x(1) + 3*0.04*x(2) + 4*0.05*x(3) + 6*0.03*x(4)

+ 0.08*x(5) + 0.07*x(6) + 0.06*x(7) + 0.03*x(8) = 1.25

第三個限制是鉬的重量是1.25噸：

5*0.03*x(1) + 3*0.03*x(2) + 4*0.04*x(3) + 6*0.04*x(4)
+ 0.06*x(5) + 0.07*x(6) + 0.08*x(7) + 0.09*x(8) = 1.25

以矩陣形式指定$Aeq*x=beq$約束：

Aeq = [5,3,4,6,1,1,1,1;
    5*0.05,3*0.04,4*0.05,6*0.03,0.08,0.07,0.06,0.03;
    5*0.03,3*0.03,4*0.04,6*0.04,0.06,0.07,0.08,0.09];
beq = [25;1.25;1.25];

每個變量的下界爲零。整型變量的上界是1。

lb = zeros(8,1);
ub = ones(8,1);
ub(5:end) = Inf; % No upper bound on noninteger variables

Solve Problem

既然已經有了所有的輸入，就調用解算器。

[x,fval] = intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub);

輸出：

LP:                Optimal objective value is 8125.600000.                                          

Cut Generation:    Applied 3 mir cuts.                                                              
                   Lower bound is 8495.000000.                                                      
                   Relative gap is 0.00%.                                                          


Optimal solution found.

Intlinprog stopped at the root node because the objective value is within a gap
tolerance of the optimal value, options.AbsoluteGapTolerance = 0 (the default
value). The intcon variables are integer within tolerance,
options.IntegerTolerance = 1e-05 (the default value).

觀察輸出：

x,fval

x = 8×1

    1.0000
    1.0000
         0
    1.0000
    7.2500
         0
    0.2500
    3.5000

fval = 8.4950e+03

最佳購買價格爲8495美元。購買1號、2號和4號鋼錠，但不要購買3號鋼錠，購買7.25噸合金1、0.25噸合金3和3.5噸廢鋼。

設置$intcon=[]$以查看在沒有整數約束的情況下解決問題的效果。解決方案不同，而且不現實，因爲您不能購買一小部分鑄錠。