Matlab 离散优化： Mixed-Integer Linear Programming Basics: Solver-Based

本文全文翻译自Matlab官方教程：Mixed-Integer Linear Programming Basics: Solver-Based

这个例子展示了如何解决一个混合整数线性问题。虽然不复杂，但该示例显示了使用intlinprog语法构造问题的典型步骤。

对于这个问题的基于问题的方法，参见：Mixed-Integer Linear Programming Basics: Problem-Based

Poblem Description

你想把不同化学成分的钢混合起来，得到25吨具有特定化学成分的钢。结果应含有5%的碳和5%的钼（按重量计），即25吨*5%=1.25吨碳和1.25吨钼。其目的是尽量降低钢的混合成本。

这个问题摘自Carl Henrik Westerberg，Bengt Bjorklund和Eskil Hultman，“瑞典钢铁厂混合整数规划的应用”，接口1977年2月第7卷，第2期，第39-43页，摘要见https://doi.org/10.1287/inte.7.2.39。

有四块钢锭可供购买，每个钢锭只有一个可用。

可购买三级合金钢和一级废钢，合金钢和废钢可以少量购买。

要解决这个问题，首先要确定控制变量。取变量$x(1)=1$表示购买铸锭1，$x(1)=0$表示不购买铸锭。类似地，变量$x(2)$到$x(4)$是指示您是否购买锭2到4的二进制变量。

变量$x(5)$到$x(7)$是以吨为单位购买的合金1、2和3的数量，$x(8)$是以吨为单位购买的废钢数量。

MATLAB® Formulation

通过指定intlinprog的输入来求解问题。intlinprog语法：

[x,fval] = intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

为intlinprog创建从第一个(f)到最后一个(ub)的输入。

f是cost系数的向量,代表铸锭成本的系数是铸锭重量乘以每吨成本。

f = [350*5,330*3,310*4,280*6,500,450,400,100];

整数变量是前四个:

intcon = 1:4;

提示：要指定二进制变量，请在intcon中将这些变量设置为整数，并给它们一个下界0和上界1。

该问题没有线性不等式约束，因此A和b是空矩阵[]。

A = [];
b = [];

这个问题有三个等式约束。首先是总重量是25吨:

5*x(1) + 3*x(2) + 4*x(3) + 6*x(4) + x(5) + x(6) + x(7) + x(8) = 25

第二个限制是碳的重量是25吨的5%，即1.25吨:

5*0.05*x(1) + 3*0.04*x(2) + 4*0.05*x(3) + 6*0.03*x(4)

+ 0.08*x(5) + 0.07*x(6) + 0.06*x(7) + 0.03*x(8) = 1.25

第三个限制是钼的重量是1.25吨：

5*0.03*x(1) + 3*0.03*x(2) + 4*0.04*x(3) + 6*0.04*x(4)
+ 0.06*x(5) + 0.07*x(6) + 0.08*x(7) + 0.09*x(8) = 1.25

以矩阵形式指定$Aeq*x=beq$约束：

Aeq = [5,3,4,6,1,1,1,1;
    5*0.05,3*0.04,4*0.05,6*0.03,0.08,0.07,0.06,0.03;
    5*0.03,3*0.03,4*0.04,6*0.04,0.06,0.07,0.08,0.09];
beq = [25;1.25;1.25];

每个变量的下界为零。整型变量的上界是1。

lb = zeros(8,1);
ub = ones(8,1);
ub(5:end) = Inf; % No upper bound on noninteger variables

Solve Problem

既然已经有了所有的输入，就调用解算器。

[x,fval] = intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub);

输出：

LP:                Optimal objective value is 8125.600000.                                          

Cut Generation:    Applied 3 mir cuts.                                                              
                   Lower bound is 8495.000000.                                                      
                   Relative gap is 0.00%.                                                          


Optimal solution found.

Intlinprog stopped at the root node because the objective value is within a gap
tolerance of the optimal value, options.AbsoluteGapTolerance = 0 (the default
value). The intcon variables are integer within tolerance,
options.IntegerTolerance = 1e-05 (the default value).

观察输出：

x,fval

x = 8×1

    1.0000
    1.0000
         0
    1.0000
    7.2500
         0
    0.2500
    3.5000

fval = 8.4950e+03

最佳购买价格为8495美元。购买1号、2号和4号钢锭，但不要购买3号钢锭，购买7.25吨合金1、0.25吨合金3和3.5吨废钢。

设置$intcon=[]$以查看在没有整数约束的情况下解决问题的效果。解决方案不同，而且不现实，因为您不能购买一小部分铸锭。