貪婪算法

1、概念

貪婪算法： 每步都採取最優的做法。
優點： 簡單易行。
特點： 得到的結果是最優解或者與最優解相當接近。所以也不是任何情況下行之有效的。可以看成是一個近似算法。

2、教室課表調度問題

課程表如下，如何選出儘可能多且時間不衝突的課程呢？

英語	8 ：00 AM	9：00 AM
思修	8：30 AM	9：30 AM
C語言	9：00 AM	10：00 AM
計算機概論	9：40 AM	10：40 AM
Python	10：20 AM	11：20 AM

貪婪算法做法具體如下：

1. 選出最早結束的課，就是要在這間教室上的第一堂課。
2. 接下來，必須選擇第一堂課後纔開始的課。同樣，選擇最早結束的課，這將是要在這間教室上的第二堂課。以此類推。

最終貪婪算法求出這間教室課表安排順序爲： 英語、C語言、Python。

3、揹包問題

舉例揹包問題主要討論貪婪算法並非是在任何情況下行之有效的。

假設你是一個小偷，你揹着可裝35磅重東西的揹包，在商場伺機盜竊各種可裝入揹包的商品。商場的商品重量和價格如下：

商品名	價格	重量
音響	6000美元	30磅
筆記本電腦	4000美元	20磅
吉他	3000美元	15磅

採用貪婪策略，具體做法如下：

1. 盜竊可裝入揹包的最貴商品。
2. 再盜竊還可裝入揹包的最貴商品，以此類推。

採用貪婪策略求出只偷到了6000美元的東西，但是如果不偷音響，而是偷筆記本和吉他，那將偷到7000美元的東西。

啓示：

在某些情況下，完美是優秀的敵人。有時候，你只需要找到一個能夠大致解決問題的算法，此時貪婪算法正好可派上用場，因爲他們實現起來很容易，得到的結果又與正確結果相當接近。

4、集合覆蓋問題

假設你辦了一個廣播節目，要讓全國的聽衆都能收聽得到，爲此你需要決定在哪些廣播臺播出，在每個廣播臺都需要支付費用，因此你力圖在儘可能少的廣播臺播出，然而每個廣播臺都覆蓋特定的區域，不同廣播臺的覆蓋區域可能重疊。如何找出覆蓋全國34個省級區域的最小廣播臺集合呢？看起來很簡單，但實現起來非常難。具體方法如下：

1. 列出每個可能的廣播臺集合，這個被稱爲冪集，可能的子集爲 $2^n$ 個。
2. 在這些集合中，選出覆蓋全中國34個省級區域的最小集合。

此時問題來了，這時算法的運行時間爲 $O(2^n)$ ,如果廣播臺很多，沒有任何算法能足夠快地解決這個問題。怎麼辦呢？
貪婪算法可以化解危機，使用貪婪算法可以得到非常接近的解。
使用貪婪算法步驟如下：

1. 選出這樣一個廣播臺，即它覆蓋了最多未覆蓋州。即便這個廣播臺覆蓋了一些已覆蓋的省級區域，也沒有關係。
2. 重複第一步，直到覆蓋了所有的省級區域。

這個算法的運行時間爲 $O(n^2)$,其中n爲廣播臺數量。

代碼(Python3)：

1. 出於簡化考慮，假設省級區域只有江西省、廣東省、湖北省、福建省、廣西省、雲南省、四川省、山東省。可以創建一個列表，其中包含要覆蓋的省級區域。

   states_needed = set(['江西省','廣東省','湖北省','福建省','廣西省','雲南省','四川省','山東省']) #傳入一個列表，將其轉換爲集合
   

2. 廣播臺清單，使用散列表來表示。

   stations = {}
   stations['頻道1'] = set(['江西省','廣東省','福建省'])
   stations['頻道2'] = set(['四川省','山東省','廣西省'])
   stations['頻道3'] = set(['山東省','湖北省','福建省'])
   stations['頻道4'] = set(['雲南省','湖北省','江西省'])
   

3. 最後使用一個集合來存儲最終選擇的廣播臺。

   final_stations = set()
   

4. 開始計算，遍歷所有的廣播臺，從中選擇覆蓋了最多的未覆蓋的廣播臺。將這個廣播臺存儲在best_station中。把該廣播臺覆蓋的所有未覆蓋的省級區域放入states_covered集合。for循環每個廣播臺，並確定它是否是最佳的廣播臺。for循環結束後將best_station添加到最終的廣播臺列表中。

   best_station = None
   states_covered = set()
   for station,states_for_station in stations.items():
   	covered = states_needed & states_for_station #取交集
   	if len(covered) > len(states_covered):
   		best_station = station
   		states_covered = covered
   final_station.add(best_station)
   

5. 由於覆蓋了一些省級區域，因此不需要覆蓋這些省級區域，還需更新states_needed。

   states_needed -= states_covered 
   

6. 不斷循環，直到states_needed 爲空，這個循環完整代碼：

   while states_needed:
   	best_station = None
   	states_covered = set()
   	for station,states_for_station in stations.items():
   		covered = states_needed & states_for_station #取交集
   		if len(covered) > len(states_covered):
   			best_station = station
   			states_covered = covered
   	states_needed -= states_covered 
   	final_stations.add(best_station)		
   

7. 最後打印final_stations,輸出：
   

5、NP完全問題

NP完全問題： 多項式複雜程度的非確定性問題，簡單的理解就是 “難解”，需要計算所有的解，並從中選出最小/最短的那個。所以對於NP完全問題，一般採用近似求解，採用算法如：貪婪算法。

判斷是否爲NP完全問題：

1. 元素較少時算法運行的速度非常快，但隨着元素數量的增加，速度會變得非常慢，這時可能是NP完全問題。
2. 涉及”所有組合“的問題通常是NP問題。
3. 不能將問題分成小問題，必須考慮各種可能的情況。這個可能是NP完全問題。
4. 如果問題涉及序列（旅行商問題中的城市序列）且難以解決，它可能就是NP完全問題。
5. 如果問題涉及集合（如廣播集合）且難以解決，它可能就是NP完全問題。
6. 如果問題可轉換未集合覆蓋或旅行商問題，那它肯定是NP完全問題。

6、總結

• 貪婪算法尋找局部最優解，企圖以這種方式獲取全局最優解。
• 對於NP完全問題，還沒有找到快速解決的方案。
• 面臨NP完全問題，最佳的做法是使用近似算法。
• 貪婪算法易於實現、運行速度快，是不錯的近似算法。