TT 的旅行日记（两遍dijkstra || 分层图最短路）

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问题描述

众所周知，TT 有一只魔法猫。

今天他在 B 站上开启了一次旅行直播，记录他与魔法猫在喵星旅游时的奇遇。 TT 从家里出发，准备乘坐猫猫快线前往喵星机场。猫猫快线分为经济线和商业线两种，它们的速度与价钱都不同。当然啦，商业线要比经济线贵，TT 平常只能坐经济线，但是今天 TT 的魔法猫变出了一张商业线车票，可以坐一站商业线。假设 TT 换乘的时间忽略不计，请你帮 TT 找到一条去喵星机场最快的线路，不然就要误机了！

Input

输入包含多组数据。每组数据第一行为 3 个整数 N, S 和 E (2 ≤ N ≤ 500, 1 ≤ S, E ≤ 100)，即猫猫快线中的车站总数，起点和终点（即喵星机场所在站）编号。

下一行包含一个整数 M (1 ≤ M ≤ 1000)，即经济线的路段条数。

接下来有 M 行，每行 3 个整数 X, Y, Z (1 ≤ X, Y ≤ N, 1 ≤ Z ≤ 100)，表示 TT 可以乘坐经济线在车站 X 和车站 Y 之间往返，其中单程需要 Z 分钟。

下一行为商业线的路段条数 K (1 ≤ K ≤ 1000)。

接下来 K 行是商业线路段的描述，格式同经济线。

所有路段都是双向的，但有可能必须使用商业车票才能到达机场。保证最优解唯一。

Output

对于每组数据，输出3行。第一行按访问顺序给出 TT 经过的各个车站（包括起点和终点），第二行是 TT 换乘商业线的车站编号（如果没有使用商业线车票，输出"Ticket Not Used"，不含引号），第三行是 TT 前往喵星机场花费的总时间。

本题不忽略多余的空格和制表符，且每一组答案间要输出一个换行

Sample input

Sample output

1 2 4
2
5

解题思路1–两次dijkstra

这个题只要求走一条商业线，因此我们可以枚举每一条商业线，假设边为 $(a,b)$ ，其中 $a,b$ 是边的两个端点。我们从起点跑一次最短路，记录下 $dis1$ 数组，然后从终点跑一次最短路，记录下 $dis2$ 数组，然后对于当前商业线 $(a,b)$ ，权值w，其经过当前商业线的最短路径是 $min(dis1[a]+dis2[b]+w,dis1[b]+dis2[a]+w)$ 。最后比较所有商业线与不使用商业线，取最小值即可。

完整代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <climits>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;

const int maxn=100000+10;
struct node
{
    int to,w,next;
};
node edge[maxn];
int head[maxn],dis1[maxn],dis2[maxn],path1[maxn],path2[maxn];
vector<int> v;
int cnt,n,m,k,s,e,ans,min1,min2,minpath=INT_MAX;
bool visit[maxn],flag=false;

void add(int x,int to,int w)
{
    cnt++;
    edge[cnt].to=to; edge[cnt].w=w;
    edge[cnt].next=head[x];
    head[x]=cnt;
}
void dijkstra(int s1,int* dis,int* path)
{
    dis[s1]=0;

    priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int> >,greater<pair<int,int> > > points;
    //代码返回pair的比较结果，先按照pair的first元素升序，first元素相等时，再按照second元素升序：
    points.push(make_pair(0,s1));//第一个参数指从s到第二个参数到距离

    while(!points.empty())
    {
        int x=points.top().second;
        points.pop();
        if(!visit[x])
        {
            visit[x]=true;
            for(int i=head[x];i;i=edge[i].next)
            {
                int to=edge[i].to;
                if(dis[to]>dis[x]+edge[i].w)
                {
                    dis[to]=dis[x]+edge[i].w;
                    points.push(make_pair(dis[to],to));
                    path[to]=x;
                }
            }
        }
    }
}
int getint()
{
    int x=0,ss=1;
    char ch=' ';
    while(ch<'0' || ch>'9')
    {
        ch=getchar();
        if(ch=='-') ss=-1;
    }
    while(ch>='0' && ch<='9')
    {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*ss;
}
int main()
{
    while(scanf("%d %d %d",&n,&s,&e)!=EOF)
    {
        m=getint();
        for (int i=1; i<=m; i++)
        {
            int x,y,z;
            x=getint(); y=getint(); z=getint();
            add(x,y,z);
            add(y,x,z);
        }
        memset(dis1,0x3f,sizeof(dis1));
        memset(dis2,0x3f,sizeof(dis2));

        dijkstra(s,dis1,path1);

        memset(visit,false,sizeof(visit));

        dijkstra(e,dis2,path2);

        k=getint();
        for (int i=1; i<=k; i++)
        {
            int x,y,z;
            x=getint(); y=getint(); z=getint();
            if(dis1[x]+dis2[y]+z<minpath){
                min1=x; min2=y; minpath=dis1[x]+dis2[y]+z; ans=x;
            }
            if(dis2[x]+dis1[y]+z<minpath){
                min1=y; min2=x; minpath=dis2[x]+dis1[y]+z; ans=y;
            }
        }

        if(!flag) flag=true;//格式控制
        else putchar('\n');

        if(dis1[e]<minpath)//不使用商业票
        {
            for (int i=e; i!=s; i=path1[i])//回溯路径
                v.push_back(i);
            v.push_back(s);

            for (int i=v.size()-1; i>=1; i--)
                printf("%d ",v[i]);
            printf("%d\nTicket Not Used\n%d\n",v[0],dis1[e]);
        }
        else {
            for (int i=min1; i!=s; i=path1[i])
                v.push_back(i);
            v.push_back(s);
            for (int i=min2; i!=e; i=path2[i])
                v.insert(v.begin(),i);
            v.insert(v.begin(),e);
            for (int i=v.size()-1; i>=1; i--)
                printf("%d ",v[i]);
            printf("%d\n%d\n%d\n",v[0],ans,minpath);
        }

        v.clear();
        ans=0; cnt=0; minpath=INT_MAX;
        memset(head,0,sizeof(head));
        memset(visit,false,sizeof(visit));
        memset(path1,0,sizeof(path1));
        memset(path2,0,sizeof(path2));
    }
    return 0;
}

解题思路2–分层图最短路

第一种思路只能解决这种一条商业线的问题，当有k条商业线，我们要求到终点的过程中，使用 $0\sim k$ 条商业线，那就应该使用分层图最短路算法。

分层图最短路介绍见我的另一篇博客：传送门

这个题是一个分两层的图，每层图都是一个无向图，记录路径可以从dijkstra中用path数组来记录当前结点的前驱结点，最终回溯得到路径即可。

完整代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <climits>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;

const int maxn=10000+10;
struct node
{
    int to,w,next;
};
node edge[maxn];
int head[maxn],dis[maxn],path[maxn],ans;
vector<int> v;
int cnt,n,m,k,s,e;
bool visit[maxn],flag=false;

void add(int x,int to,int w)
{
    cnt++;
    edge[cnt].to=to; edge[cnt].w=w;
    edge[cnt].next=head[x];
    head[x]=cnt;
}
void dijkstra(int s)
{
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    dis[s]=0;

    priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int> >,greater<pair<int,int> > > points;
    //代码返回pair的比较结果，先按照pair的first元素升序，first元素相等时，再按照second元素升序：
    points.push(make_pair(0,s));//第一个参数指从s到第二个参数到距离

    while(!points.empty())
    {
        int x=points.top().second;
        points.pop();
        if(!visit[x])
        {
            visit[x]=true;
            for(int i=head[x];i;i=edge[i].next)
            {
                int to=edge[i].to;
                if(dis[to]>dis[x]+edge[i].w)
                {
                    dis[to]=dis[x]+edge[i].w;
                    points.push(make_pair(dis[to],to));
                    path[to]=x;//记录路径
                }
            }
        }
    }
}
int getint()
{
    int x=0,ss=1;
    char ch=' ';
    while(ch<'0' || ch>'9')
    {
        ch=getchar();
        if(ch=='-') ss=-1;
    }
    while(ch>='0' && ch<='9')
    {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*ss;
}
int main()
{
    while(scanf("%d %d %d",&n,&s,&e)!=EOF)
    {
        m=getint();
        for (int i=1; i<=m; i++)
        {
            int x,y,z;
            x=getint(); y=getint(); z=getint();
            add(x,y,z);
            add(y,x,z);//第一层连接路径
            add(x+n,y+n,z);
            add(y+n,x+n,z);//第二层连接路径
        }
        k=getint();
        for (int i=1; i<=k; i++)
        {
            int x,y,z;
            x=getint(); y=getint(); z=getint();
            add(x,y+n,z);
            add(y,x+n,z);//第一、二层之间连接路径
        }

        add(e,e+n,0);//没用商业票就过去了，第一、二层终点相连

        dijkstra(s);

        for (int i=e+n; i!=s; i=path[i])//回溯路径
            v.push_back(i);
        v.push_back(s);


        if(!flag) flag=true;//格式控制，在开头输出回车，第一次不用
        else putchar('\n');

        if(v[0]-n==v[1])//没有使用商业票，最后一步是e->e+n，所以这一层要去掉
        {
            for (int i=v.size()-1; i>=2; i--)
                printf("%d ",v[i]);
            printf("%d\nTicket Not Used\n%d\n",v[1],dis[e+n]);
        }
        else{//使用了商业票，进入了下一层
            for (int i=v.size()-1; i>=1; i--)
            {
                if(v[i]>n) printf("%d ",v[i]-n);//如果遇到了>n的，说明进入了下一层，所以ans不再统计，上一次统计的ans就是从上层进入下层的入口
                else { printf("%d ",v[i]); ans=i; }
            }
            printf("%d\n%d\n%d\n",v[0]-n,v[ans],dis[e+n]);
        }

        v.clear();
        ans=0; cnt=0;
        memset(head,0,sizeof(head));
        memset(visit,false,sizeof(visit));
    }
    return 0;
}

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