leetcode:比特位計數

題目來源:力扣

題目描述：

給定一個非負整數 num。對於 0 ≤ i ≤ num 範圍中的每個數字 i ，計算其二進制數中的 1 的數目並將它們作爲數組返回。
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示例 1:
輸入: 2
輸出: [0,1,1]
示例 2:
輸入: 5
輸出: [0,1,1,2,1,2]
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給出時間複雜度爲O(n*sizeof(integer))的解答非常容易。但你可以在線性時間O(n)內用一趟掃描做到嗎？

審題：

最簡單的方法是檢查每一整數的比特位，計算爲１的個數．此處我們考慮其他時間複雜度更小的方法．
首先觀察連續整數的比特數組，{0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111}，觀察以上序列我們可以發現如下規律，２的比特位中１的個數等於０的比特位中１的個數＋１，３的比特位中１的個數等於１的比特位中１的個數＋１，４的比特位中１的個數等於０的比特位中１的個數＋１，５的比特位中１的個數等於１的比特位中１的個數＋１．我們使用$S[i]$表示整數ｉ中比特位爲１的個數，則可以推導出如下公式：
$S[i] = S[i \% 2^{(int)lg_{2}i}]+1$，且$S[0] = 0, S[1] = 1$.
基於以上最優子結構推導，我們可以使用動態規劃算法自底向上依次計算S[0], S[1], …S[n].

還有另一中更簡潔的方法，在看了此方法後，深感巧妙．所有整數可分爲奇數和偶數兩種，如果一個數是奇數，則其前一個數是偶數，並且該奇數位爲１的個數等於前一偶數位爲１個數加１，因爲相較於前一偶數，除最低位由０變爲１外，其餘位均相同．如果當前數爲偶數，則該偶數中位爲１的個數等於該偶數除以２對應偶數中位爲１的個數，因爲除以２相當於將當前偶數右移一位，由於右移的最低位爲０，因此移位後整數爲１的個數不變．我們可以推導出如下最優子結構：
$if$ $i\&1==1, S[i] = S[i-1]+1$
$else$ $S[i] = S[i >> 1]$

java算法：

class Solution {
    public int[] countBits(int num) {
        if(num == 0)
            return new int[]{0};

        int[] S = new int[num+1];
        S[0] = 0;
        S[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= num; i++){
            int mod = (int)Math.pow(2, (int)(Math.log(i) / Math.log(2)));
            S[i] = S[i % mod] + 1;
        }
        return S;
    }
}

位運算版本

class Solution {

    public int[] countBits(int num) {
        if(num == 0)
            return new int[]{0};

        int[] S = new int[num+1];
        S[0] = 0;
        S[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= num; i++)
            if((i & 1) == 0)
                S[i] = S[i >> 1];
            else
                S[i] = S[i-1] + 1;
        return S;
    }
}