有關定義域
|| 一元函數的定義域是實數軸上的點集，二元函數的定義域是座標平面上的點集
|| 平面內點A的領域：一般泛指A的方鄰域和A的圓鄰域
|| 點與點集的關係，按照位置關係可以分爲：內點，外點，界點
- 內點：若存在點A的某鄰域U(A)，使得U(A)包含於E，則稱A爲E中的內點。E中所有的內點的集合稱爲E是內部，記作int E
- 外點：若存在點A的某鄰域U(A)，使得U(A)∩E=空集，則稱A爲E中的外點。
- 界點：若存在點A的某鄰域U(A)，使得U(A)中既含有E中的點也含有E外的點，則稱A爲E中的界點。E的所有的界點的集合稱爲E的邊界。記作∂E
E的界點可能屬於E，也可能不屬於E，不能說界點就只是點集邊界上的點
|| 點和點集的關係，按照密集關係可以分爲：聚點，孤立點
- 聚點：若任何點A的空心鄰域U(A)，都含有E中無窮多個點，則稱A爲E的聚點 —>類似內點+某些界點
- 孤立點：若A屬於E，但不是E的聚點，即U(A) ∩E=空集，則稱點A是E的孤立點
|| 兩種類型的點之間的關係：
- 聚點 = 所有內點+非孤立的界點
- 孤立點 = 孤立的界點
- 非聚點非孤立點 = 外點
|| 由定義域內的點與點集的關係，定義一些重要的平面點集：
- 開集：若定義域內的所有點都屬於E中的內點，則稱E爲開集
- 閉集：若定義域內的所有聚點都屬於E（在e中），則稱E爲閉集，若點集E沒有聚點，也稱之爲閉集
- 開域：非空連通開集（連通性：E中任意兩點都可以用一點完全含於E的有限折現連接）
- 閉域：帶邊界的非空連通開集
- 區域：開域和閉域，和開域連同其一部分界點所成的點集，統稱爲區域
全部由><號包圍起來的點集爲開集
全部由≥≤號包圍起來的點集爲閉集
半開半閉的點集爲非開非閉集（注意不是又閉又開集）
R^2 和 空集，時唯二的又開又閉集
|| 其他關於有界點集的定義：
- 包含關係：對於某一平面E，若存在某一個正數r，使得 E包含於U(O, r)，則稱E爲有界點集。 (其中O是固定點)
- 距離關係：點集E的直徑dE（dE = sup d(p1,p2) — 距離最遠的兩點的距離）爲有限值，則稱E爲有界點集。
點集有關定義定理
|| 定義1：點列收斂定義
設{Pn} 包含於R, 爲平面點列，P0屬於R 爲一固定點。若對任給正數ε，存在正整數N，使得當n大於N時，有Pn屬於U(P0, ε), 則稱點列{Pn}收斂於P0。
記作：
|| 定理1：柯西準則，點列收斂的充要條件
任給正數ε，存在正整數N，使得當n>N時，對一切的正整數p（距離)
|| 定理2：閉域套定理( 避孕套定理???!!)
設{Dn}是R中的閉域，它滿足：
則存在唯一的點P0∈Dn，n=1，2，3…
|| 定理3：聚點定理
設E爲有界無限點集，則E在R上至少有一個聚點
（通過閉域套定理證明）
定理3的推論：
有界無限點列{Pn} ，必存在收斂子列{Pn}
|| 定理4：有限覆蓋定理
二元函數
|| 定義2：二元函數的定義
設平面點集D，若按照某種對應法則f，D中每一個點P(x, y)都有一個唯一確定的實數z與之對應，則稱f爲定義在D上的二元函數（或D到R的一個映射），記作： f:D --> R
p的座標值x，y爲函數的因變量
|| 二元函數可以被分爲有界函數和無界函數（同一元函數），其充要條件爲：
二元函數的極限
|| 定義一：二元函數重極限的定義（正常極限）
設f爲D上的二元函數，P0爲D的一個聚點，A是一個確定的實數，若給定任意正數ε，總存在某正數δ，使得當P∈U(P0, δ) ∩ D時，都有|f§ - A| < ε, 則稱 f 在D上當P->P0時以A爲極限，記作
|| 定理5：在子集上的極限連續
- 定理5的推論1：子集極限的不存在
設E1包含於D，P0是E1的聚點，若 f 在E1上P ->P0的極限不存在，那麼 f 在D上P->P0的極限也不存在 - 定理5的推論2：子集極限的存在但不等
設E1，E2包含於D，P0是E1，E2的聚點，若在E1,E2上P ->P0的極限存在但不相等，那麼f 在D上P->P0的極限不存在 - 定理5的推論3：關於定義域D中某個點列(子集)的充要條件
f 在D上P->P0的極限存在的充要條件爲：對於D中任一滿足條件Pn != P0且當n->∞時等於P0的點列{Pn}，它對應的數列{f（Pn）}收斂
|| 定義二：二元函數重極限的定義（非正常極限 ∞）
二元函數f 的定義域爲D，P0爲其中的一個聚點，若對任給正數M，總存在某正數δ，使得當P∈U(P0, δ) ∩ D時, 都有f ( P) >M，則稱f在D上當P->P0時，存在非正常極限+∞，記作
|| 定義三：二元函數累次極限的定義
|| 定理6：累次極限和重極限間的關係
若f(x，y) 中重極限和任一個累次極限(先x後y/先y後x)同時存在，則它們必相等
- 定理6的推論1：
若f(x，y) 中重極限和兩個累次極限三者同時存在，則它們必定相等 - 定理6的推論2：
若f(x，y) 中兩個累次極限存在但是不相等，則重極限不存在
（注意：累次極限不存在時對重極限並無影響）
二元函數的連續性
定義一：二元函數在某點上連續性定義
設f爲定義在點集D包含於R上的二元函數，P0∈D（D的聚點或者孤立點）。對於任給的正數ε，總存在相應的正數δ，只要P∈U（P0，δ）∩D，有：
等價於：
則稱 f 關於D上在P0上連續
|| 定義二：二元函數在D上連續性定義
若f在D上的任何點都關於集合D連續，則稱f爲D上的連續函數
|| 定理7：複合函數的連續性
若函數A = a(x,y)，B = b(x,y)連續，則f(A, B)連續
|| 定理8：有界性和最大最小值定理
若f 在有界閉域D上連續，則f 在D上有界，且能取得最大最小值
|| 定理9：一致連續性定理
若f 在有界閉域D上連續，則f 在D上一致連續（即對於任給的正數ε，總存在相應以ε爲自變量的正數δ，只要距離d(P, Q)<δ，有：| f§ - f(Q) | < ε (相鄰則相同?))
|| 定理10：介值性定理
設f 在 D上連續，P1,P2爲D上兩點，且f(P1) < f(P2)，則對於任何滿足f(P1) < u < f(P2) 的實數u，必存在點P0∈D，使得f(P0) = u。
總結：若f連續，則f 符合函數連續，具有介值性，若 f 在有界閉域上仍連續：則f具有有界性，一致連續性