數列的概念
|| 定義一：數列的定義
若函數f 的定義域爲全體正整數N+，則稱該函數值的集合 f(n),n∈N+爲數列，數列可寫作 a1,a2,…,an…或簡單記作{an}，其中an稱爲數列的通項
|| 定義二: 數列收斂的ε - N定義（“無限接近”轉義爲“差的絕對值無限小”）
設{an}爲數列，a爲定數。若給定任意正數ε，總存在某正整數N，使得當n>N時,|an - a| < ε，則稱數列收斂於a，定數a稱爲數列{an}的極限，並記作
|| 若數列{an}沒有極限，則稱{an}不收斂，或稱{an}爲發散數列
|| 關於極限的一些注意事項：
- ε的任意性：ε代表任意小的正數，那麼2ε，ε/2，ε2 同樣是無窮小的正數，可以替換ε
- 數列收斂的鄰域定義：an爲數列，a爲定數，若存在某個正數ε，若在U（a，ε）之外數列{an}的項至多隻有有限個（N個），則稱數列{an}收斂於極限a。
|| 定義三：無窮小數列定義
若數列收斂，且極限爲0，則該收斂數列稱爲無窮小數列
|| 定理1：收斂數列極限爲a的充要條件
當{an - a}爲無窮小數列，收斂數列極限爲a
收斂數列的性質
|| 定理2：極限的唯一性
若i數列{an}收斂，則它只有一個極限
|| 定理3：有界性
若{an}收斂，則{an}爲有界數列，即存在正數M，使得對一切正整數有 |an| < M
|| 定理4：保號性 （在應用保號性時a` = a / 2）
若limn->∞ an= a，則對任何a’∈（0，a），存在正數N使當n>N時有an>a’
|| 定理5：保不等式性（若n->∞，數列通項的大小關係，即爲數列極限的大小關係）
設{an}和{bn}均爲收斂數列，若存在正數N,使得當n>N時有an≤bn，則limn->∞ an≤limn->∞ bn
|| 定理6：迫斂性
設{an}和{bn}均爲收斂數列，且以a爲極限。數列{cn}滿足：存在正數N，當n>N時有an≤cn≤bn，則數列{cn}收斂，且limn->∞ cn = a
|| 定理7：四則運法則 加減乘除
若{an}和{bn}均爲收斂數列，則{an+ bn}，{an- bn}，{an* bn}也都是收斂函數且
特別的，當bn爲常數時也滿足上式子（當然除法時bn!= 0）
定義四：子列的定義 （子列其實就是從數列中不連續但按順序取數組成）
設{an}爲數列，{nk}爲正整數集N+的無限子集，且n1<n2<…<nk<…，則數列an1，an2，…，ank，…稱爲{an}的一個子列，簡記爲{ank}
注意：{an}本身也是一個子列
定義五：平凡子列和非平凡子列
該數列本身和去掉有限項的子列，稱爲{an}的平凡子列，不是平凡子列的子列稱爲非平凡子列，例：{a2k}，{a2k-1}爲非平凡子列
注意：因爲平凡子列只刪去了有限項，故原數列和任一平凡子列同爲發散或收斂（收斂的鄰域定義）
定理8：子列與原數列收斂的關係(往往判斷數列收斂發散，因爲只需要舉出一個反例即可證發散）
數列{an}收斂的充要條件是：{an}的任何非平凡子列都收斂，且與原數列共同收斂於一個極限
數列極限存在的條件
對於一些複雜的極限問題，首先要考察數列是否有極限，我們通常需要從數列的本身特徵上找到存在性的判斷，故以下討論一些數列
|| 單調數列：遞增數列和遞減數列（既可用於極限存在性判斷，同時是數列收斂的充分條件(有界說明極限爲常數)）
若{an}各項滿足關係an ≤ an+1，則稱爲遞增數列
|| 定理9：單調有界定理
在實數系中，有界的單調數列必有極限（遞增數列若有界則必定是上界啦，遞減數列若有界則必定是下界啦，其確界就是他們的極限）
|| 特殊的數列{（1+1/n）n} ：遞增數列有界，且極限用拉丁字母 “e”表示（e≈2.718 281 828 459）
以e爲底的對數稱爲自然對數，通常記 lnx = logex
|| 定理10：柯西收斂準則 （既可用於極限存在性判斷，同時是數列收斂的充分必要條件）
數列收斂的充要條件是：數列滿足柯西條件(對任給的ε>0，存在正整數N，使得當n，m > N時有 |an - am| < ε)
注意：區別數列收斂的ε-N定義，定數a變成了數列中的am，因此只需要關注數列本身的特徵就可以鑑別收斂發散性而不需要藉助其他定數a
|| 柯西收斂準則的條件稱之爲柯西條件：空間意義爲當n足夠大以後，數列各項的值都擠在了一起（差的絕對值小於任意小的數）