線性規劃問題

線性規劃的可行解域是由一組線性約束條件形成的，從幾何意義來說，就是由一些線性解面圍割形成的區域。由於線性規劃的目標函數也是線性的，因此，目標函數的等值域是線性區域。如果在可行解域中的某內點處目標函數達到最優值，則通過該內點的目標函數等值域與可行解域邊界的交點也能達到最優解。所以，第一步的結論是：最優解必然會在可行解域的邊界處達到。由於目標函數的各個等值域是平行的，而且目標函數的值將隨着該等值域向某個方向平行移動而增加或減少（或不變)。如果最優解在可行解域邊界某個非頂點處達到，則陣着等值域向某個方向移動，目標函數的值會增加或減少（與最優解矛盾）或沒有變化（在此段邊界上都達到最優解），從而仍會在可行解域的某個頂點處達到最優解。
既然可行解域是由一組線性約束條件所對的線性區域圍成的，那麼再增加一個約束條件時，要麼縮小可行解域（新的約束條件分割了原來的可行解域)，要麼可行解域不變（新的約束條件與原來的可行解域不相交)。
如果可行解域是無界的，那麼目標函數的等值域向某個方向平移（目標函數的值線性變化）時，可能出現無限增加或無限減少的情況，因此有可能沒有最優解。當然，有時，即使可行解域是無界的，但仍然有最優解，但確實會有不存在最優解的情況。
由於線性規劃的可行解域是凸域，區域內任取兩點，則這兩點的連線上所有的點都屬於可行解域（線性函數圍割而成的區域必是凸域)。如果線性規劃問題在可行解域的某兩個點上達到最優解（等值），則在這兩點的連線上都能達到最優解（如果目標函數的等值域包括某兩個點，則也會包括這兩點連線上的所有點）。因此，線性規劃問題的最優解要麼是0個（沒有)，要麼是唯一的（1個)，要麼有無窮個（只要有2個，就會有無窮個）。