2020.04.06日常總結——折半搜索

$\color{green}{\text{折半搜索}}$

• 折半搜索是非常常用的一種剪枝方法。它可以把某些搜索的時間複雜度降至原來的根號級別。

• 舉個例子，比如我們現在要從 $n(1 \leq n \leq 40)$ 個東西中選擇幾個東西，最後的總價值爲所有東西的價值和，總費用也爲所有東西的價值和，求當總費用 $\leq m$ 時的最大價值。

  • 我們可以直接用一個 $O(2 ^ n)$ 的暴力搜索，然而直接 TLE。
  • 但是，我們可以先搜索出前一半的東西的所有可能的總價值和總費用，然後我們在搜索後半段，時間複雜度各自爲 $O(2^{n/2})$。
  • 然後我們可以對前半段所有的可能解排序，然後枚舉後半段的價值，可以直接通過二分來求解。總時間複雜度爲 $O(\dfrac{n}{2} \times 2^{n/2})$。
  • 這樣，我們可以通過原題目的數據範圍了！！！上述方法即折半搜索。總的時間複雜度爲 $O(2^{n/2+1}+\dfrac{n}{2} \times 2^{n/2})$，幾乎是直接暴力算法的時間複雜度的根號級別。

• 在現實生活中，折半搜索也非常常用，比如我們著名的折半攻擊 （雖然是黑客玩的，不是什麼好東西）。

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$\color{green}{\text{洛谷P5194\ \ \ \ \ [USACO05DEC]Scales\ S}}$

$\color{blue}{\text{【題意】：}}$

$\color{blue}{\text{【思路】：}}$ 細心的讀者可能會發現，這不就是我舉的例子嗎？是的，直接套就好了。

但是，$1 \leq N \leq 1 \times 10^3$，就是用上面的方法也會 TLE 啊！！！

我們發現題目中有這麼一句話：

這一行中從第3個砝碼開始，每個砝碼的質量至少等於前面兩個砝碼（也就是質量比它小的砝碼中質量最大的兩個）的質量的和。

也就是說，最多砝碼的情況是前兩個砝碼都是 $1$，而後面的砝碼都是前兩個砝碼的和（即斐波那契數列）。重量 $>C$ 的砝碼鐵定沒用，所以我們可以編程看看最多的砝碼個數是多少（代碼是 Python 的）：

結果爲：

也就是說，最多才 $43$ 個砝碼（可能更少），題目的數據範圍是吹出來的，我們的算法不用 TLE。

$\color{blue}{\text{【代碼】：}}$

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折半搜索真的非常常用！！！大家可以多找找類似的題目做做。