2020.04.11日常總結——兩道codeforces

$\color{green}{\text{CF460C}}$

$\color{blue}{\text{【題目翻譯】：}}$

• 你有 $n$ 朵花，高度爲 $a_i$，你可以澆 $m$ 天的水，每天只澆一次。每次澆花的效果是讓一個長度 $w$ 的區間內的所有花的高度 $+1$。問 $m$ 天后最矮的花的高度最大是多少。
• $1 \leq n,m,w \leq 1 \times 10^5,1 \leq a_i\leq 1 \times 10^9(1 \leq i \leq n)$。

$\color{blue}{\text{【思路】：}}$ 最小值最大，一看就是二分的題目。

二分 $\text{mid}$ 表示 $m$ 天后所有的花的高度都要 $\geq \text{mid}$。考慮如何判斷（即常說的 check() 函數）。

我們可以用一個類似差分與前綴和的方法，記 $T_i$ 表示第 $i$ 朵花被澆了 $T_i$ 次，$C_i$ 表示 $T_i-T_{i-1}$，即 $T$ 數組的差分數組。

我們從前往後掃描，如果第 $i$ 朵花的高度仍然 $< \text{mid}$ 的話，我們就澆區間 $(i,i+w)$。利用差分的基本運算可以 $O(1)$ 完成這一步。

爲什麼可以直接從前往後掃描呢？因爲我們在第 $i$ 個數後面澆花覆蓋 $i$ 和直接在 $i$ 澆的效果一模一樣。同時由於我們在處理第 $i$ 個數時已經保證前面的數都 $\geq \text{mid}$ 了，所以我們澆 $i$ 時沒必要再澆前面的花了（已經不影響答案了），直接貪心地澆後面即可。

時間複雜度：$O(n \times \log a_i)$，空間複雜度：$O(n)$。

$\color{blue}{\text{【代碼】：}}$

const int N=1e5+100;
typedef long long ll;
ll a[N],b[N],c[N<<1];
ll n,m,w,l,r,mid,ans;
inline bool check(ll mid){
	register ll x=0,cnt=0;
	memset(c,0,sizeof(c));
	for(int i=1;i<=n;i++)
		b[i]=max(mid-a[i],0ll);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		x+=c[i];//類似於前綴和 
		if ((b[i]-=x)>0){
			if ((cnt+=b[i])>m) break;
			x+=b[i];c[i+w]-=b[i];b[i]=0;
		}
	}
	return cnt<=m;
}
int main(){
	n=read();m=read();w=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=read();
	l=0;//二分下界 
	r=5e9;//二分上界 
	while (l<=r){
		mid=(l+r)>>1;
		if (check(mid)){
			l=mid+1;//嘗試更高 
			ans=mid;//更新答案 
		}
		else r=mid-1;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

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$\color{green}{\text{Codeforces\ gym\ 101502\ F}}$

題目鏈接

$\color{blue}{\text{【題目大意】：}}$ 現在你有一個數 $x$，初始時它爲 $1$，你可以通過下面兩種方式之一把 $x$ 擴大。

• 把 $x$ 變爲 $x+1$
• 把 $x$ 變爲 $x \times 2$

記 $\text{STEP(y)}$ 表示從 $1$ 變成 $y$ 的最少步數。給定 $n$ 個數 $a_i$ 和詢問數 $q$，每次詢問給定兩個數 $l,r$，求：

$\sum\limits_{i=l}^{r} \text{STEP(} a_i)$

共 $T$ 組輸入。

$1 \leq n,q \leq 1 \times 10^5,1 \leq T \leq 50,1 \leq a_i \leq 1 \times 10^{18}(1 \leq i \leq n)$。

$\color{blue}{\text{【思路】：}}$ 首先，這道題最難的是想到如何求 $\text{STEP(} a_i )$。

我們發現一個奇數 $x$ 肯定是由 $x-1$ 通過第一中轉移來的。如果 $x$ 是偶數時，它可能由 $x-1$ 或 $\dfrac{x}{2}$ 轉移來。直覺告訴我們從 $1$ 到 $\dfrac{x}{2}$ 的步數肯定比從 $1$ 到 $x-1$ 少。於是我們可以貪心地規定當 $x$ 是偶數時，我們從 $\dfrac{x}{2}$ 轉移到 $x$。

我們驚喜地發現：這樣是對的！！！於是我們可以 $O(\log a_i)$ 的求 $\text{STEP} (a_i)$！！！

最後一個問題，如果直接求每次的輸出會 TLE。很簡單，前綴和就可以了！！！

$\color{blue}{\text{【代碼】：}}$

#define ll long long
const int N=1e5+100;
int test_number,n,q;
ll pre[N],step[N];
int main(){
	test_number=read();
	while (test_number--){
		n=read();q=read();//輸入 
		memset(pre,0,sizeof(pre));
		memset(step,0,sizeof(step));
		for(int i=1;i<=n;i++){
			register ll d=read();
			while (d!=1){
				if (d%2) step[i]++;
				step[i]++;d/=2;
			}
			pre[i]=pre[i-1]+step[i];
		}
		for(int i=1,u,v;i<=q;i++){
			u=read();v=read();//輸入詢問 
			print(pre[v]-pre[u-1],'\n');//輸出函數
		}
	}
	return 0;
}