期權定價公式的推導（歐式）

1.$C = e^{-rT}E^{Q}[max(S_T-K,0)]$
又可以寫爲$C = e^{-rT}E^{Q}[(S_T-K)]II_{S_T > =K }] \tag 1$
其中$Q$表示在風險中性下的利率測度
$II_{S_T >= K}$爲示性函數，用來表示$S_T$和$K$之間的關係。

2.現實環境中，股票價格的變動可以用如下公式來描述：
$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_tdw_t \tag2$
其中$w_t$爲布朗運動
現實環境下和風險中性環境下，股票價格的變動布朗運動（隨機變化部分）的關係如下$w_t^{p} + \int_{0}^{t} \theta_s d_t = w_t^{Q} \tag3$

所以，將（2）式帶入（3）式中得到在風險中性測度下股票價格的變化公式(常數項不變，照抄即可)：
$dS_t^{Q} =\mu S_tdt +\sigma S_t(dW_t^{Q}-\theta_s dt) \tag4$

因爲$\theta_s =\frac{\mu - r}{\sigma}$,所以
$d S_t^{Q} = rS_tdt + \sigma S_t dW_t^{Q} \tag5$
$\Rightarrow S_t = S_0 exp((r-\frac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma W_t^{Q})$

因爲$dw_t = \epsilon \sqrt{T}$,其中$\epsilon$服從正態分佈，T爲時間，所以$\Rightarrow S_T = S_0 exp[(r-\frac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma \epsilon \sqrt{T}] \tag 6$

lianjie

如果$\epsilon$服從$N(0,1)$,則$E[e^{m+\lambda \epsilon II_{\epsilon > a}}] = \int_a^\infty e^{m+\lambda \epsilon}.\sqrt{2\pi}e^{\frac{-\epsilon^2}{2}}$,其中$m,\lambda,a$爲常數 ，得到：$\int _a^{\infty}e^{m+\lambda \epsilon} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\epsilon^2}{2}}d\epsilon$ 令$\epsilon = x$
$\Rightarrow \int _a^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^\frac{-(x-\lambda)^2}{2}e^{\frac{\lambda}{2}+m}$ 令$y = x-\lambda$ $\Rightarrow \int_{a-\lambda}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-y^2}{2}}e^{\frac{\lambda^2 }{2}+m}dy \tag 0$
所以，式（0）也是服從標準正態分佈$N(0,1)$ 的
所以原式=$e^{\frac{\lambda^2}{2}}[1-N(a-\lambda)] = e^{\frac{\lambda^2}{2}+m }N(\lambda -a )$

4.可以將（1）式寫爲$C = e^{-rT}E^{Q}[S_TII_{S_T > =K }] -E^Q[ K_II{S_T > =K } ] \tag 7$其中$e^{-rT}E^Q[S_T II_{S_T>=K}]$等價於