凸優化：一些簡單的相關概念

一 基本準則：
1.有一個可解集合
2.有一個尋找準則

二 數學語言如下：
最小化方程式：
$f_0(x) \tag1$
限制條件： $f_i(x) <= b_i,i=1,2,3,......m\tag2$
優化變量：
$X = [x_1,x_2,x_3.........x_n]^T \tag3$
目標函數（objective function）：
$f_0:R^n \rightarrow R \tag4$
不等式約束(inequality constant)：
$f_i:R^n \rightarrow R \tag5$
優化解：
$X^* optimal \Leftrightarrow \forall z ,z\in \{f_i(z) \leqslant b(i),i=1,2,3,....m \}$
$f_0(z) \geqslant f_0(x^*)$

三 線性規劃問題／非線性規劃問題
線性規劃問題：
$f_i(\alpha x + \beta y) = \alpha f_i(x) + \beta f_i(y)$
(最有解一般在頂點上或者邊上)
非線性規劃問題：
凸規劃／非凸規劃
凸規劃：所有的$f_i(\alpha x + \beta y)$都應該是凸函數
凸函數的定義如下：
$f_i(\alpha x + \beta y) \leqslant \alpha f_i(x) + \beta f_i(y),i =0,1,2,.....m$
其可行解爲凸集，目標函數爲凸函數

光滑／非光滑
光滑是指一個函數在所有的點上都是可微的
用數學語言去描述

本文爲流水賬式的記錄。參考資料：嗶哩嗶哩-中科大-凸優化