紅黑樹RBTree學習筆記

什麼是紅黑樹RBTree：

概念：紅黑樹是一種特殊的平衡二叉樹，它具有自平衡的能力；能夠保證在最壞的情況下，基本的動態操作時間在O(logh),其中h代表紅黑樹的高度；
紅黑樹其實是在平衡二叉樹的每個結點上，增加一個存儲單元，用來標明顏色；

平衡二叉樹滿足下面條件 -------> 紅黑樹：

1. 每個結點不是黑的，就是紅的；
2. 根節點一定是黑的；
3. 葉節點NULL都是黑的；
4. 紅色結點的兩個子節點均是黑的；
5. 對每個結點，從該結點開始，到葉節點的所有路徑上，黑色結點的數目相等；

引理：若紅黑樹的內節點個數爲 n，那麼其高度最多爲2lg(n+1);*

紅黑樹在插入和刪除時間複雜度爲O(lgh),但是插入和刪除過程中有時會破壞其平衡特性，一般是通過左旋、右旋(改變指針指向)和變色來重新達到平衡狀態的；

左旋、右旋：

紅黑樹的刪除操作：

首先紅黑樹是二叉排序樹，按排序樹的方式刪除一個結點，有三種情況：

1. 如果待刪除的結點是葉子結點，則直接刪除即可。
2. 如果待刪除的結點只有一個孩子，則將父結點的指針指向它的孩子。
3. 如果待刪除的結點有兩個孩子，則可以找它的後繼，將值覆蓋過來，之後情況轉變成刪除前驅或者後繼結點，情況變回1和2。
   二叉樹結點的前驅和後繼爲該二叉樹中序遍歷後，當前結點的前一個結點和後一個結點；
   再根據紅黑樹的性質，通過左旋、右旋和變色來讓紅黑樹重新達到平衡；
   看了很多文章，這篇給的圖示講的比較清楚，附上鍊接點擊此處。

紅黑樹的插入操作：

情形1：被插入結點z（插入後塗成紅色）的叔叔y是紅色；
可以通過改變顏色來使得紅黑樹達到平衡；

情形2：被插入結點z的叔叔y是黑色，且被插入結點z是左孩子；
情形3：被插入結點z的叔叔y是黑色，且被插入結點z是右孩子；
case2可以通過左旋來變成case3，然後再通過右旋+變色，來重新達到平衡；