B. Composite Coloring

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B. Composite Coloring

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標籤

• 思維
• 數論

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簡明題意

• 給出n個合數，現在需要你爲這些數塗色，塗色要滿足以下要求：
  1.所塗的顏色必須是連續的。（比如塗了4、5號顏色，那麼一定1、2、3號顏色塗過了）
  2.每個數都要塗上一種顏色
  3.塗相同顏色的兩個數的gcd一定>1（塗相同顏色的兩個數不互質）
• 對於題目給定的數據，已知最多11種顏色就能滿足要求。現在需要你輸出一種塗色方案，滿足上面的要求即可，不需要總的顏色數最少。

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思路

• 顏色相同的數gcd>1，把哪些數塗一樣的顏色呢？只要有公因子，就塗一樣的顏色，可以嗎？比如 2x3 3x5 5x7這3個數，2x3和3x5有公因子3，把這兩個數塗成1。3x5和5x7有公因子5，那麼把5x7也塗成1.現在2x3和5x7是一樣的顏色，但他們的gcd=1，不符合要求！因此，有公因子就塗相同顏色是不對的！
• 那如果給相同質因子的數塗一樣的顏色呢？2x3 3x5 5x7 7x2這4個數，首先看2，我們就把2x3、7x2塗色成1，然後看3，由於2x3已經塗色了，那麼我們只能把3x5塗成顏色2，最後把5x7塗成顏色3.這樣塗色的話，可以保證相同顏色的數一定gcd>1。
• 1000以內有很多質因子，每種質因子塗一種顏色，那麼是不是就>11了呢。我們注意到1000以內的合數一定有一個$<=[\sqrt{1000}]=31$的質因子，這樣，用2-31之間的所有質數，就能把所有的數塗色了。而2-31之間的質數剛好是11個，因此就滿足題意了。

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注意事項

• 無

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總結

• 範圍在n以內的合數都含有一個$<=\sqrt n$的質因子

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AC代碼

#pragma GCC optimize(2)
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring> 
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<cstdio>	
#include<set>
#include<map>
#include<string>
using namespace std;

const int maxn = 1000 + 10;

int a[maxn];

bool isprime(int n)
{
	for (int i = 2; i * i <= n; i++)
		if (n % i == 0)
			return 0;
	return 1;
}

void solve()
{
	int t;
	cin >> t;
	while (t--)
	{
		int n;
		cin >> n;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			cin >> a[i];

		int ans[maxn] = { 0 }, col = 0, cnt = 0;
		for (int i = 2; i <= 1000; i++)
		{
			if (isprime(i))
			{
				col++;
				bool ok = 0;
				for (int j = 1; j <= n; j++)
					if (ans[j] == 0 && a[j] % i == 0)
						ans[j] = col, cnt++, ok = 1;
				if (!ok) col--;
				if (cnt == n) break;
			}
		}

		cout << col << endl;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			cout << ans[i] << " ";
		cout << endl;
	}
}
	
int main()
{
//	freopen("Testin.txt", "r", stdin);
	solve();
	return 0;
}