B. Composite Coloring

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B. Composite Coloring

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标签

• 思维
• 数论

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简明题意

• 给出n个合数，现在需要你为这些数涂色，涂色要满足以下要求：
  1.所涂的颜色必须是连续的。（比如涂了4、5号颜色，那么一定1、2、3号颜色涂过了）
  2.每个数都要涂上一种颜色
  3.涂相同颜色的两个数的gcd一定>1（涂相同颜色的两个数不互质）
• 对于题目给定的数据，已知最多11种颜色就能满足要求。现在需要你输出一种涂色方案，满足上面的要求即可，不需要总的颜色数最少。

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思路

• 颜色相同的数gcd>1，把哪些数涂一样的颜色呢？只要有公因子，就涂一样的颜色，可以吗？比如 2x3 3x5 5x7这3个数，2x3和3x5有公因子3，把这两个数涂成1。3x5和5x7有公因子5，那么把5x7也涂成1.现在2x3和5x7是一样的颜色，但他们的gcd=1，不符合要求！因此，有公因子就涂相同颜色是不对的！
• 那如果给相同质因子的数涂一样的颜色呢？2x3 3x5 5x7 7x2这4个数，首先看2，我们就把2x3、7x2涂色成1，然后看3，由于2x3已经涂色了，那么我们只能把3x5涂成颜色2，最后把5x7涂成颜色3.这样涂色的话，可以保证相同颜色的数一定gcd>1。
• 1000以内有很多质因子，每种质因子涂一种颜色，那么是不是就>11了呢。我们注意到1000以内的合数一定有一个$<=[\sqrt{1000}]=31$的质因子，这样，用2-31之间的所有质数，就能把所有的数涂色了。而2-31之间的质数刚好是11个，因此就满足题意了。

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注意事项

• 无

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总结

• 范围在n以内的合数都含有一个$<=\sqrt n$的质因子

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AC代码

#pragma GCC optimize(2)
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring> 
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<cstdio>	
#include<set>
#include<map>
#include<string>
using namespace std;

const int maxn = 1000 + 10;

int a[maxn];

bool isprime(int n)
{
	for (int i = 2; i * i <= n; i++)
		if (n % i == 0)
			return 0;
	return 1;
}

void solve()
{
	int t;
	cin >> t;
	while (t--)
	{
		int n;
		cin >> n;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			cin >> a[i];

		int ans[maxn] = { 0 }, col = 0, cnt = 0;
		for (int i = 2; i <= 1000; i++)
		{
			if (isprime(i))
			{
				col++;
				bool ok = 0;
				for (int j = 1; j <= n; j++)
					if (ans[j] == 0 && a[j] % i == 0)
						ans[j] = col, cnt++, ok = 1;
				if (!ok) col--;
				if (cnt == n) break;
			}
		}

		cout << col << endl;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			cout << ans[i] << " ";
		cout << endl;
	}
}
	
int main()
{
//	freopen("Testin.txt", "r", stdin);
	solve();
	return 0;
}