DP - 最長上升子序列 - Defense Lines - UVA - 1471

DP - 最長上升子序列 - Defense Lines - UVA - 1471

題意：

$T組測試數據。\\給定一個長度爲n的序列，要求刪除其中的一部分連續的序列，使得剩下的序列當中的連續上升子序列儘量的長。\\要求刪除過後，連續上升子序列最大的長度。$

Sample Input：
2
9
5 3 4 9 2 8 6 7 1
7
1 2 3 10 4 5 6

Output：
4
6

數據範圍：

$T<=25，n<=200000。$

$Time \ limit：3000 ms$

題解：

$本題特殊在連續：刪除一部分連續序列，求剩下部分連續上升子序列的長度。$

$最暴力的做法是枚舉以a[i]結尾的最長連續上升子序列和以a[j]開頭的最長連續上升子序列，i<j\\若a[i]<a[j]則可以將區間(i,j)內的元素刪除，最大長度就是兩部分序列長度的和。\\枚舉的部分是O(n^2)的，計算兩部分長度是O(n)的，總的時間複雜度是O(n^3)。$

$計算兩部分連續上升子序列的長度這一步驟可以利用前綴和預處理，這樣能優化到O(n^2)。$

$用l[i]數組記錄以元素a[i]結尾的連續最長上升子序列的長度，r[i]記錄以a[i]開頭的連續最長上升子序列的長度。$

$這樣，我們可以用單調隊列q[i]優化，維護長度爲i的連續最長上升子序列的末尾元素。$
$對於每個元素a[i]，在q中查找第一個大於等於a[i]的位置len，這個位置以a[i]結尾的序列的長度。$
$r[i]是以a[i]開頭的連續最長上升子序列的長度，用ans維護len+r[i]-1的最大值。\\最後將a[i]插入到隊列的l[i]的位置。$

---

代碼：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>

#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f

using namespace std;

const int N=2e5+10;

int T,n,a[N],l[N],r[N],q[N];

int main()
{
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        memset(l,0,sizeof l);
        memset(r,0,sizeof r);
        memset(q,0x3f,sizeof q);
        
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);

        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            l[i]=1;
            if(a[i]>a[i-1])
                l[i]+=l[i-1];
        }
        for(int i=n;i;i--)
        {
            r[i]=1;
            if(a[i]<a[i+1])
                r[i]+=r[i+1];
        }
        
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int len=lower_bound(q+1,q+1+n,a[i])-q;
            ans=max(ans,r[i]+len-1);
            q[l[i]]=min(q[l[i]],a[i]);
        }

        cout<<ans<<endl;
    }

    return 0;
}