DP - 完全揹包 - 整數劃分

DP - 完全揹包 - 整數劃分

$本題與——$《Pay the Price - UVA - 10313》$類似。$

一個正整數n可以表示成若干個正整數之和，形如：n=n1+n2+…+nk，其中n1≥n2≥…≥nk,k≥1。

我們將這樣的一種表示稱爲正整數n的一種劃分。

現在給定一個正整數n，請你求出n共有多少種不同的劃分方法。

輸入格式
共一行，包含一個整數n。

輸出格式
共一行，包含一個整數，表示總劃分數量。

由於答案可能很大，輸出結果請對10⁹+7取模。

數據範圍
1≤n≤1000

輸入樣例:
5
輸出樣例：
7

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分析：

$將n分解爲n個小於等於n的正整數的和，等價於從小於等於n的n個正整數中選擇一些數拼湊成n。$

$將小於等於n正整數n_i視作體積爲n_i的物品，n視作揹包容量，問題轉化爲完全揹包求方案總數。$

$狀態表示：f[i][j]:考慮小於等於i的數，求和恰好爲j的方案總數。$

$狀態計算：\\①、不包含整數i:f[i][j]=f[i-1][j]。\\②、包含k個整數i：f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-k×i]，k>=1且j-k×i>=0。$

$完全揹包優化，包含整數i時：\\f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-i]+f[i-1][j-2×i]+...+f[i-1][j-k×i]$

$f[i][j-i]=\qquad \qquad f[i-1][j-i]+f[i-1][j-2×i]+...+f[i-1][j-k×i]$

$於是有f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-i]。$

$由於包含整數i是從第i層轉移過來的，因此優化到一維是從小到大枚舉j。$

二維代碼：

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std ;

const int N=1010,mod=1e9+7;

int n,f[N][N];

int main()
{
    cin>>n;
    
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=n;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=i) f[i][j]=(f[i-1][j]+f[i][j-i])%mod;
        }
                
    cout<<f[n][n]<<endl;
    
    return 0;
}

一維代碼：

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std ;

const int N=1010,mod=1e9+7;

int n,f[N];

int main()
{
    cin>>n;
    
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i;j<=n;j++)
            f[j]=(f[j]+f[j-i])%mod;
            
    cout<<f[n]<<endl;
    
    return 0;
}

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