【並查集】B_684. 冗餘連接（並查集 | 拓撲排序）

一、題目描述

在本問題中, 樹指的是一個連通且無環的無向圖。

輸入一個圖，該圖由一個有着N個節點 (節點值不重複1, 2, …, N) 的樹及一條附加的邊構成。附加的邊的兩個頂點包含在1到N中間，這條附加的邊不屬於樹中已存在的邊。

結果圖是一個以邊組成的二維數組。每一個邊的元素是一對[u, v] ，滿足 u < v，表示連接頂點u 和v的無向圖的邊。

返回一條可以刪去的邊，使得結果圖是一個有着N個節點的樹。如果有多個答案，則返回二維數組中最後出現的邊。答案邊 [u, v] 應滿足相同的格式 u < v。

輸入: [[1,2], [2,3], [3,4], [1,4], [1,5]]
輸出: [1,4]
解釋: 給定的無向圖爲:
5 - 1 - 2
    |   |
    4 - 3

二、題解

方法一：並查集

• 並查集初始狀態下每一個結點都有各自的 leader。
• 遍歷整張圖，如果兩兩結點之間有不同的父親，那麼將其合併在一起。
• 如果兩兩結點之間在之前已經合併過，而且再一次檢查出有相同的 leader，那麼證明這兩個點組成的邊是冗餘的。

public int[] findRedundantConnection(int[][] edges) {
    UF uf = new UF(edges.length);
    for (int[] edge : edges) {
        if (uf.union(edge[0], edge[1]))
            return edge;
    }
    return new int[2];
}
class UF {
    int[] id;
    UF(int N) {
        id = new int[N+50];
        for (int i = 0; i < N; i++)
            id[i] = i;
    }
    public int find(int p) {
        while (p != id[p]) {
            p = id[p];
        }
        return p;
    }
    public boolean union(int p, int q) {
        int pID = find(p);
        int qID = find(q);
        if (pID == qID) {
            return true;
        }
        id[pID] = qID;
        return false;
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(N)$，
• 空間複雜度：$O(N)$，

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方法二：拓撲排序

• 拓撲排序的起點是所有入度爲 1 的結點。
• 因爲圖是有向圖，所以大部分結點的入度都大於 1，所以這些結點夠構成一個環，環內的邊是可以任意刪去一條的，這不會影響圖的連通性。
• 由此可得，我們從入度爲 1 的結點進行一次拓撲排序，最後反向遍歷一下 edges，如果存在某一條邊的兩個頂點的入度都大於 1，證明這兩個頂點在環上，直接刪去即可。

Q&A

• Q1：爲什麼最後要倒着遍歷 edges 呢，不是所有環上的邊都可以任意刪去一條嗎？
  A1：hh，題目已說明：如果有多個答案，則返回二維數組中最後出現的邊。

class Solution {
	List<List<Integer>> g;
	int[] in;
	boolean[] inq;
    public int[] findRedundantConnection(int[][] edges) {
        int N = edges.length;
		g = new ArrayList<>();
		for (int i = 0; i <= N; i++) {
			g.add(new ArrayList<>());
		}
        in = new int[N+1];
        inq = new boolean[N+1];
        
		for (int[] e : edges) {
			in[e[0]]++; 	 in[e[1]]++;
			g.get(e[1]).add(e[0]);
            g.get(e[0]).add(e[1]);
		}
		topo();
		for (int i = edges.length-1; i != 0; i--) {
			int u = edges[i][0], v = edges[i][1];
			if (in[u] > 1 && in[v] > 1)
				return edges[i];
		}
		return new int[2];
    }
	private void topo() {
		Queue<Integer> q = new ArrayDeque<>();
		for (int i  = 0; i < in.length; i++) {
			if (in[i] == 1) {
				q.add(i);
				inq[i] = true;
			}
		}
		while (!q.isEmpty()) {
			int v = q.poll();
			inq[v] = false;
			for (int nei : g.get(v)) {
                if (inq[nei])
                    continue;
				in[nei]--;
				if (in[nei] == 1) {
					q.add(nei);
					inq[nei] = true;
				}
			}
		}
	}
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O()$，
• 空間複雜度：$O()$，