【TSP】C000_NK_字節筆試題_畢業旅行問題（二進制枚舉）

一、Problem

小明目前在做一份畢業旅行的規劃。打算從北京出發，分別去若干個城市，然後再回到北京，每個城市之間均乘坐高鐵，且每個城市只去一次。由於經費有限，希望能夠通過合理的路線安排儘可能的省一些路上的花銷。給定一組城市和每對城市之間的火車票的價錢，找到每個城市只訪問一次並返回起點的最小車費花銷。

輸入描述:

城市個數n（1<n≤20，包括北京）

城市間的車票價錢 n 行 n 列的矩陣 m[n][n]

輸出描述:

最小車費花銷 s

輸入例子1:
4
0 2 6 5
2 0 4 4
6 4 0 2
5 4 2 0

輸出例子1:
13

例子說明1:
共 4 個城市，城市 1 和城市 1 的車費爲0，城市 1 和城市 2 之間的車費爲 2，
城市 1 和城市 3 之間的車費爲 6，城市 1 和城市 4 之間的車費爲 5，依次類推。
假設任意兩個城市之間均有單程票可購買，且票價在1000元以內，無需考慮極端情況。

二、Solution

方法一：dp

• 定義狀態：
  • $dp[i][j]$ 表示從城市 $i$ 出發，經過城市集合 $j$ 中各個頂點僅一次，並回到發點 $s$ 的最短距離。
• 思考狀態轉移方程：
  • 如果 $j$ 是空集，dp[i][j] = dp[i][0] = dist[i][0] 表示從 $i$ 出發，經過 0 個城市，並回到出發點 s 的最短距離，也就是從城市 $i$ 回到出發城市 $s$ 的最短路距離了。
  • 否則，dp[i][k] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[i][j ^ (1 <<(k-1))])，j ^ (1 << (k - 1)) 表示從 $i$ 出發，經過城市集合 $j$（不包含城市 $k$），並回到出發點 $s$ 的最短距離。
• 思考初始化：
  • $dp[0...i][0] = dist[0...i][0]$ 同上
• 思考輸出：$dp[s][tot]$，tot = 1 << (n-1) - 1

java 位運算優先級殺我：(1 << (n - 1)) - 1 這樣寫是對的，但 1 << (n - 1) - 1 這樣寫是錯的，原因是左移運算符優先級比減法低。

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
public class Main{
	static class Solution {
		void init() {
			Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
			int n = sc.nextInt(), tot = (1 << (n - 1)) - 1, g[][] = new int[n][n], dp[][] = new int[n][1<<n];
			for (int i = 0; i < n; i++)
			for (int j = 0; j < n; j++)	g[i][j] = sc.nextInt();
			for (int i = 0; i < n; i++)	dp[i][0] = g[i][0];
			
			for (int j = 1; j <= tot; j++)
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                dp[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
                if ((j & (1 << (i-1))) != 0)
                    continue;
                for (int k = 1; k < n; k++) {
                    if ((j & (1 << (k-1))) > 0)
                        dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], g[i][k] + dp[k][j ^ (1 << (k-1))]);
                }
            }
			System.out.println(dp[0][tot]);
		}
	}
    public static void main(String[] args) throws IOException {  
        Solution s = new Solution();
		s.init();
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n^2 × 2^n)$，
• 空間複雜度：$O(n^2)$，