【回溯】B047_LQ_大臣的旅費（2×dfs 求樹的直徑 / dp）

一、Problem

很久以前，T王國空前繁榮。爲了更好地管理國家，王國修建了大量的快速路，用於連接首都和王國內的各大城市。

爲節省經費，T國的大臣們經過思考，制定了一套優秀的修建方案，使得任何一個大城市都能從首都直接或者通過其他大城市間接到達。同時，如果不重複經過大城市，從首都到達每個大城市的方案都是唯一的。

J是T國重要大臣，他巡查於各大城市之間，體察民情。所以，從一個城市馬不停蹄地到另一個城市成了J最常做的事情。他有一個錢袋，用於存放往來城市間的路費。

聰明的J發現，如果不在某個城市停下來修整，在連續行進過程中，他所花的路費與他已走過的距離有關，在走第x千米到第x+1千米這一千米中（x是整數），他花費的路費是x+10這麼多。也就是說走1千米花費11，走2千米要花費23。

J大臣想知道：他從某一個城市出發，中間不休息，到達另一個城市，所有可能花費的路費中最多是多少呢？

輸入格式：

輸入的第一行包含一個整數n，表示包括首都在內的T王國的城市數。

城市從1開始依次編號，1號城市爲首都。

接下來n-1行，描述T國的高速路（T國的高速路一定是n-1條）
每行三個整數Pi, Qi, Di，表示城市Pi和城市Qi之間有一條高速路，長度爲Di千米。

輸出格式:
輸出一個整數，表示大臣J最多花費的路費是多少。

樣例輸入:
5
1 2 2
1 3 1
2 4 5
2 5 4

樣例輸出:
135

樣例說明:
大臣J從城市4到城市5要花費135的路費。

二、Solution

方法一：2 * dfs 求樹的直徑

• 本題可理解爲在一棵無向無環圖上求任意兩點之間的最長度。
• 求法較簡單：
  • 第一遍 dfs 求出距離根節點 1 最遠的點 m。
  • 第二遍 dfs 從 m 開始再求一遍距離 m 最遠距離。
• 最後用這個公式…愉快地算出…
  公式推導：$n × 10 + 1+2+......+n=$ $n × 10 +$ $\cfrac{n × (n+1)}{2}$

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
public class Main{
	static class Solution {
		int N, tot, m, max;
		Edge[] e;
		int[] head;
		boolean[] vis;
		void add(int u, int v, int w) {
			e[++tot] = new Edge();
			e[tot].to = v;
			e[tot].w = w;
			e[tot].next = head[u];
			head[u] = tot;
		}
		void dfs(int x, int d) {
			if (d > max) {
				max = d;
				m = x;
			}
			for (int i = head[x]; i != 0; i = e[i].next) {
				int to = e[i].to, w = e[i].w;
				if (!vis[to]) {
					vis[to] = true;
					dfs(to, d+w);
					vis[to] = false;
				}
			}
		}
		void init() {
			Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
			N = sc.nextInt();
			e = new Edge[2*N+5];
			head = new int[N+5];
			for (int i = 0; i < N-1; i++) {
				int a = sc.nextInt(), b = sc.nextInt(), c = sc.nextInt();
				add(a, b, c);
				add(b, a, c);
			}
			vis = new boolean[N+5];
			vis[1] = true;
			dfs(1, 0);
			vis = new boolean[N+5];
			vis[m] = true;
			dfs(m, 0);
			System.out.println(10*max + (max+1)*max / 2);
		}
		class Edge {
			int to, w, next;
			Edge() {}
		}
	}
    public static void main(String[] args) throws IOException {  
        Solution s = new Solution();
		s.init();
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(...)$，
• 空間複雜度：$O(...)$，

---

方法二：Floyd 求最短距離的最大者

1/2…

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
public class Main{
	static class Solution {
		long[][] dp;
		int N, INF = 0x3f3f3f3f; long max;
		void floyd() {
			for (int k = 1; k <= N; k++)
			for (int i = 1; i <= N; i++)
			for (int j = 1; j <= N; j++) {
				dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]);
				if (dp[i][j] != INF)
				    max = Math.max(max, dp[i][j]);
			}
		}
		void init() {
			Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
			N = sc.nextInt();
			dp = new long[N+5][N+5];
			for (int i = 1; i <= N; i++)
			for (int j = 1; j <= N; j++) {
				if (i != j) dp[i][j] = INF;
				else        dp[i][j] = 0; 
			}
			for (int i = 1; i < N; i++) {
				int a = sc.nextInt(), b = sc.nextInt(), c = sc.nextInt();
				dp[a][b] = dp[b][a] = c;
			}
			floyd();
			long cash = 0;
			for (long i = 1; i <= max; i++) {
				cash += 10 + i;
			}
			System.out.println(cash);
		}
	}
    public static void main(String[] args) throws IOException {  
        Solution s = new Solution();
		s.init();
    }
}