凱利公式的原理推導和應用方向

凱利公式說明的是當我們參加一項有輸有贏，但是收益的數學期望大於0的項目時，我們每次應當投入多少比例的本金能保證我們的收益最大化。

舉個栗子，比方我們買比賽的輸贏，每一場都是64開（別問怎麼知道的，問就是內幕），猜對了贏得一倍的投入資金，輸了投入資金全部沒有了。顯然這個比賽的收益數學期望爲：
$\begin{aligned} E(x) = (0.6*1-0.4*1)x = 0.2x \end{aligned}$
0.2倍投入資金量的數學收益，顯然很有賺頭。但問題就來了，我每次投入本金的多少比例可以保證收益最大呢？

舉極端例子看，我每次投入100%的本金，從數學期望公式上看是收益最多的。這樣固然贏起來很爽，但是我們如果輸了一次，就再也不能參與這項有賺頭的比賽了（沒有本金了），而且也失去了原來的錢。

如果我每次都投入1%的錢，即使不考慮本金降低帶來的投入降低，40%概率發生的事件連續發生100把的概率也極低了，顯然這樣可以很安全的讓我們在長期不虧甚至賺到一些錢，但是這樣的收益率可想而知不是很高。

因此我們嘗試用數學方法對他建模，看看他的理論最高收益：

設贏時收益率爲W，輸時收益率爲-L,投入的本金比例爲x,有p概率贏，q概率輸，則問題轉化爲規劃問題：
$\begin{aligned} max \quad f(x)& = (1+Wx)^p(1-Lx)^{1-p} \\ s.t. & \quad0 \leq x \leq 1 \end{aligned}$
對x求導：
$\begin{aligned} f'(x) &= Wp(1+Wx)^{p-1}(1-Lx)^{1-p} - Lq(1+Wx)^p(1-Lx)^{q-1} \\ &= Wp(1+Wx)^{-1}f(x) - Lq(1-Lx)^{-1}f(x) \\ & = 0 \end{aligned}$
即當f(x) 不爲0時，即數學期望不爲0時，有：
$\begin{aligned} Wp(1-&Lx)= Lq(1+Wx) \\ x &= \frac{Wp-Lq}{WL} \end{aligned}$
當$W=1,-L=-1$時，得到凱利公式。
用凱利公式解我們上面的問題，$x = \frac{1*0.6-1*0.4}{1*1} = 0.2$

在股票投資當中，當一個信號發生時，通過統計過往該信號帶來的盈利和虧損次數，可以將其簡化爲我們上面的模型，這時候通過凱利公式就可以爲我們帶來最佳盈利了。