小白談計算機圖形學（四）二維三維圖形變換—1

窗口與視圖

• 窗口：：在計算機圖形學中，將在用戶座標系中需要進行觀 察和處理的一個座標區域稱爲窗口(Window)。即用戶在 用戶域中指定的任意區域W。 比如下圖可以是屏幕上的一個窗口，窗口裏的位置都是相對不變的。
  
• 視圖：將窗口映射到顯示設備上的座標區域稱爲視圖區 (Viewport)，視圖區可以在屏幕上隨意改變位置，如下圖中的京香照片。

二維圖形的幾何變換

平移變換

$T_x,T_y$爲平移矢量
$\left\{ \begin{aligned} & x'=x+T_x\\ &y'=y+T_y \end{aligned} \right.$

比例變換

$S_x,S_y$爲比例係數
$\left\{ \begin{aligned} & x'=xS_x\\ &y'=yS_y \end{aligned} \right.$

旋轉變換

$\alpha$是$p$點的原始角度位置與水平線的夾角，$\theta$是旋轉角

$\left\{ \begin{aligned} & x'=xcos\theta-ysin\theta\\ &y'=ysin\theta+ycos\theta \end{aligned} \right.$

二維圖形變換的矩陣表示

• 圖形變換就是要變換圖形的頂點座標，同時保持圖形的原拓撲關係不變。
• 二維圖形可看成是一個點集，點的座標可用行向量$(x,y)$或列向量表示 ，圖形點集可表示成$m*2$或$2*m$ ，圖形的變換$\Rightarrow$點的變換。

三種變換

• 平移(Translation)變換
  $[x',y']=[x,y]+[T_x,T_y]$

設$T=[T_x,T_y]$,則$p'=p+T$

• 比例(Scale)變換
  $\begin{gathered} [x',y']=[x,y]\begin{bmatrix} S_x & 0 \\ 0 & S_y \end{bmatrix} \quad \end{gathered}$
  設S=$\begin{gathered} [x',y']=[x,y]\begin{bmatrix} S_x & 0 \\ 0 & S_y \end{bmatrix} \end{gathered}$,則$p'=p*S$。
• 旋轉(Rotate)變換
  $\begin{gathered} [x',y']=[x,y]\begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} \quad \end{gathered}$

齊次座標變換

• 定義:用n+1維的向量表示一個 n 維向量的方法
• 如:n維向量$(p_1,p_2,...,p_n)$表示爲$(hp_1,hp_2,...,hp_n,h)$，其中h稱爲啞座標,當$h=1$時稱爲 “規格化座標” ,前$n$個座標就是普通座標系下的$n$維座標。
• 使用原因;對於圖形來說，沒有實質性的差別，但是卻給後面的矩陣運算提供了可行性和方便性。

原二維線性變換

將$x'=a_1x+b_1y+c_1與y'=a_2x+b_2y+c_2$改寫成:
$\begin{gathered} [x',y']=[x,y,1]\begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \\c_1&c_2\end{bmatrix} \quad \end{gathered}$

齊次座標法

$\begin{gathered} [x',y']=[x,y,1]\begin{bmatrix} a_1 & a_2 &0\\ b_1 & b_2 &0\\c_1&c_2&1\end{bmatrix} \quad \end{gathered}$

• 平移(Translation)變換
  $\begin{gathered} [x',y']=[x,y,1]\begin{bmatrix} 1 & 0 &0\\ 0 & 1 &0\\T_x&T_y&1\end{bmatrix} \quad \end{gathered}$
• 比例(Scale)變換
  $S_x=S_y$均勻比例變換,$S_x\not=S_y$非均勻比例變換
  $\begin{gathered} [x',y']=[x,y,1]\begin{bmatrix} S_x & 0 &0\\ 0 & S_y &0\\0&0&1\end{bmatrix} \quad \end{gathered}$
  整體比例變換時,若$s>1$,整體縮小;若$0<s<1$, 整體放大;若$s<0$,發生關於原點的對稱變換。
  $\begin{gathered} [x',y']=[x,y,1]\begin{bmatrix} 1 & 0 &0\\ 0 & 1 &0\\0&0&s\end{bmatrix} \quad \end{gathered}$
• 旋轉(Rotate)變換
  順時針：
  $\begin{gathered} [x',y']=[x,y,1]\begin{bmatrix} cos\alpha & -sin\alpha &0\\ sin\alpha & cos\alpha &0\\0&0&1\end{bmatrix} \quad \end{gathered}$
  逆時針：
  $\begin{gathered} [x',y']=[x,y,1]\begin{bmatrix} cos\alpha & sin\alpha &0\\ -sin\alpha & cos\alpha &0\\0&0&1\end{bmatrix} \quad \end{gathered}$
• 鏡像對稱
  

對稱方式	變換矩陣	新座標點
對稱於y軸	$\begin{gathered}\begin{bmatrix}-1&0&0\\0& 1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\quad\end{gathered}$	$x'=-x\\y'=y$
對稱於x軸	$\begin{gathered}\begin{bmatrix}1 & 0 &0\\ 0 & -1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\quad\end{gathered}$	$x'=x\\y'=-y$
對稱於原點	$\begin{gathered}\begin{bmatrix}-1 & 0 &0\\ 0 & -1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\quad\end{gathered}$	$x'=-x\\y'=-y$
對稱於直線y=x	$\begin{gathered}\begin{bmatrix}0 & 1 &0\\ 1 & 0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\quad\end{gathered}$	$x'=y\\y'=x$
對稱於直線y=-x	$\begin{gathered}\begin{bmatrix}0 & -1 &0\\ -1 & 0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\quad\end{gathered}$	$x'=-y\\y'=-x$

• 錯切變換:哪個錯切變哪個
  $\begin{gathered} \begin{bmatrix} 1 & b &0\\ c&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \quad\end{gathered}$

沿x軸方向關於y錯切:$x=x+cy$

沿y軸方向關於x錯切:$y=y+bx$

複合變換

作一次以上的幾何變換時，可以將複雜變換轉化成變換矩陣相乘。 不可以交換律可以結合律。平移可交換律。

例題：任意直線的對稱變換

以沿x軸平移使之過原點再旋轉使直線與x軸重合爲例

$1.\alpha\not=90^{\circ}時$

• 平移： 沿$x$軸平移$L$使之過原點,變換矩陣爲:$T_1=\begin{gathered} \begin{bmatrix} 1 & 0 &0\\ 0&1&0\\ \frac{C}{A}&0&1 \end{bmatrix} \quad\end{gathered}$
• 旋轉：順時針旋轉$\alpha$角使$L$與$x$軸重合,變換矩陣：$R_1=\begin{gathered} \begin{bmatrix} cos\alpha & -sin\alpha &0\\ sin\alpha & cos\alpha &0\\0&0&1 \end{bmatrix} \quad\end{gathered}$
• 對稱：沿$x$軸對稱,變換矩陣爲：$S_1=\begin{gathered}\begin{bmatrix}1 & 0 &0\\ 0 & -1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\quad\end{gathered}$
• 反旋轉：逆時針轉$\alpha$,使$L$返回原位置,變換矩陣爲:$R_1=\begin{gathered} \begin{bmatrix} cos\alpha & sin\alpha &0\\ -sin\alpha & cos\alpha &0\\0&0&1 \end{bmatrix} \quad\end{gathered}$
• 反平移：沿$x$軸平移到原$L$的初始位置，變換矩陣爲:$T_2=\begin{gathered} \begin{bmatrix} 1 & 0 &0\\ 0&1&0\\ -\frac{C}{A}&0&1 \end{bmatrix} \quad\end{gathered}$
• 則總變換矩陣爲:$C_H=\begin{gathered} \begin{bmatrix} cos2\alpha & sin2\alpha &0\\ sin2\alpha&-cos2\alpha&0\\ -\frac{C}{A}(cos2\alpha-1)&\frac{C}{A}sin2\alpha&1 \end{bmatrix} \quad\end{gathered}$
• 用直線的$A,B,C$三個參數替換總變換矩陣中的$\alpha$,有如下關係:
  $\left\{ \begin{aligned} & sin2\alpha=\frac{2AB}{A^2+B^2}\\ &cos2\alpha=\frac{B^2-A^2}{A^2+B^2} \end{aligned} \right.$
  新的總變換矩陣爲：$C_H=\begin{gathered} \begin{bmatrix} \frac{B^2-A^2}{A^2+B^2} & \frac{2AB}{A^2+B^2} &0\\ \frac{2AB}{A^2+B^2}&\frac{A^2-B^2}{A^2+B^2}&0\\ -\frac{2AC}{A^2+B^2}&\frac{2BC}{A^2+B^2}&1 \end{bmatrix} \quad\end{gathered}$

$2.\alpha=90^{\circ}時$

求出方程，代入仍滿足總變換矩陣,即上式爲通式。

小結

• 比例、旋轉、錯切、對稱等變換$(a,b,c,d)$
• 平移變換$(l,m)$
• 透視變換,產生投影($p,q$,三維纔有意義)
• 整體的比例變換($s$,全比例變換)它使整個圖形沿$x、y$軸作等比例均勻變換
  

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參考文獻：
齊次座標變化